Bài 1 Số vô tỉ. Căn bậc hai số học – Toan7 – CD

a) Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ, những số đó được gọi là số vô tỉ.

Ví dụ: Số Pi được người Babylon cổ đại phát hiện gần bốn nghìn năm trước và được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp \(\pi \) từ giữa thế kỉ XVII. Số z là tỉ số giữa độ dài của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó. Năm 1760, nhà toán học Johann Heinrich Lambert (1728 — 1777. người Thuy Sĩ) đã chứng tỏ được rằng số \(\pi \) là số vô tỉ.

(Nguồn: M.Kline, Mathematical Thouglu rom Anciem to Modern Times,

Vol.1, OWord University Press, New York, 1990)

b) Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Số thập phân 0,333… = 0.(3) có vô số chữ số khác 0 ở phần thập phân của số đó. Những số thập phân như vậy gọi là số thập phân vô hạn. Tuy nhiên, có những số thập phân vô hạn mà ở phẩn thập phân của nó không có một chu kì nào cả, chẳng hạn, hai số 0,01001000100001000001… và – 5,02002000200002000002… Những số như vậy được gọi là số thập phân vô hạn không tuân hoàn.

Ví dụ: Dạng biểu diễn thập phân 3,1415926535897932384626433832795028841971… của số \(\pi \) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

c) Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ví dụ: Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) Nếu a \( \in \) Q thì ø không thể là số vô tỉ.

b) Nếu a \( \in \) Z thì a không thể là số vô tỉ.

c) Số thập phân hữu hạn là số vô tỉ.

Giải

a) Đúng. Lí do như sau: Nếu a \( \in \) Q thì a là số hữu tỉ và do đó a được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, tức là a không thể là số vô tỉ.

b) Đúng. Lí do như sau: Nếu a là số nguyên thì a cũng là số hữu tỉ và do đó theo lập luận ở trên a không thể là số vô tỉ.

c) Sai. Lí do như sau: Số thập phân hữu hạn không thể là số thập phân vô hạn không tuần hoàn và do đó không thể là số vô tỉ.

Căn bậc hai số học của một số a không âm, kí hiệu \(\sqrt a \), là số x không âm sao cho x2 = a.

Chú ý:

– Căn bậc hai số học của số \(a\left( {a \ge 0} \right)\) được kí hiệu là \(\sqrt a \). 

– Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là \(\sqrt 0  = 0\)

– Cho \(a \ge 0\). Khi đó:

+ Đẳng thức \(\sqrt a  = b\) đúng nếu \(b \ge 0;{b^2} = a\)

+ \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\)

Ví dụ: Chứng tỏ rằng:

a) Số 0,3 là căn bậc hai số học của số 0,09;

b) Số – 5 không phải là căn bậc hai số học của số 25.

Giải

a) Ta có 0,3 > 0 và (0,3)² = 0,09 nên 0,3 là căn bậc hai số học của 0,09.

b) Tuy (- 5)² = 25 nhưng do – 5 < 0 nên – 5 không phải là căn bậc hai số học của số 25.

Câu 1: Tính: \(a)\sqrt {16} ;b)\sqrt {81} ;c)\sqrt {{{2021}^2}} \)

Hướng dẫn giải 

a) Vì \({4^2} = 16\) nên \(\sqrt {16}  = 4\)

b) Vì \({9^2} = 81\) nên \(\sqrt {81}  = 9\)

c) Vì 2021 > 0 nên \(\sqrt {{{2021}^2}}  = 2021\)

Câu 2: Viết các căn bậc hai của \(3; 10; 25.\)

Hướng dẫn giải

Các căn bậc hai của \(3\) là \(\sqrt 3\) và \(  – \sqrt 3 \)

Các căn bậc hai của \(10\) là \(\sqrt {10}\) và \(  – \sqrt {10} \)

Các căn bậc hai của \(25\) là \(\sqrt {25}  = 5\) và \( – \sqrt {25}  =  – 5\)