Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác – Toán 7 – CD

Trong Hình 134, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ: Trong ba đoạn thẳng AH, BK, DN, đoạn thẳng nào là đường cao của tam giác ABC (Hình 135)?

Giải

+ Đoạn thẳng AH không là đường cao của tam giác ABC vì A là đỉnh của tam giác ABC mà AH không vuông góc với BC.

+ Đoạn thẳng BK là đường cao của tam giác ABC vì B là đỉnh của tam giác ABC và BK vuông góc với AC.

+ Đoạn thẳng DN không là đường cao của tam giác ABC vì cả D và N không là đỉnh của tam giác ABC.

Nhận xét

+ Mỗi tam giác có ba đường cao;

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh, hoặc nằm ngoài tam giác.

Định lí: 

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có trực tâm H thoả mãn HA = HB = HC (Hình 138).

Chứng minh tam giác ABC đều.

Giải

Vì HB = HC nên H thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vì H là trực tâm tam giác AC nên AH \( \bot \) BC.

Đường thẳng AH và đường trung trực của cạnh BC cùng đi qua H và vuông góc với BC nên chúng trùng nhau.

Suy ra AH là đường trung trực của BC. Do đó AB = AC. Chứng minh tương tự, ta có BC = CA.

Suy ra AB = BC = CA. Vậy tam giác ABC đều.

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.

Hướng dẫn giải

Đường cao đi qua B là AB.

Đường cao đi qua C là AC.

Câu 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

AB = AC (tam giác ABC đều);

AD chung

BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADC\)(c.c.c) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC}\) ( 2 góc tương ứng).

Mà ba điểm B, D, C thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)

Tương tự ta có:

\(\widehat {AEB} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) hay\(BE \bot AC\). (2)

\(\widehat {AFC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) hay\(CF \bot AB\). (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.

Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.