Bài 8: Đại lượng tỉ lệ nghịch – Toan7 – CD

Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 12 thì y = 5.

a) Tìm hệ số lệ.

b) Viết công thức tính y theo x.

c) Tìm số thích hợp cho (?) trong bảng sau:

Giải

a) Ta có xy = 12.5 = 60 nên hệ số tỉ lệ là 60.

b) Do xy = 60 nên \(y = \frac{{60}}{x}\).

c) Khi x = – 15 thì \(y = \frac{{60}}{{ – 15}} =  – 4\).

Khi x = – 2,5 thì \(y = \frac{{60}}{{ – 2,5}} =  – 24\).

Khi x = 6 thì \(y = \frac{{60}}{{ 6}} =  10\).

Khi x = 20 thì \(y = \frac{{60}}{{ 20}} =  3\).

Vậy ta có bảng sau:

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị \({x_{1,}}{x_2},{x_3},…\) khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng \({y_{1,}}{y_2},{y_3},…\) của y. Khi đó:

* \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = … = a\) hay \(\frac{{{x_1}}}{{\frac{1}{{{y_1}}}}} = \frac{{{x_2}}}{{\frac{1}{{{y_2}}}}} = \frac{{{x_3}}}{{\frac{1}{{{y_3}}}}} = … = a;\)

* \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};…\)

Ví dụ: Theo kế hoạch, một đội sản xuất cần phải hoàn thành công việc trong 12 ngày. Do áp dụng cải tiến kĩ thuật nên năng suất lao động của đội đã tăng lên và bằng \(\frac{3}{2}\) năng suất lao động dự kiến. Hỏi trên thực tế đội đã hoàn thành công việc đó lô trong bao nhiều ngày?

Giải

Gọi t là số ngày thực tế đội sản xuất hoàn thành công việc. Vì năng suất lao động thực tế bằng \(\frac{3}{2}\) năng suất lao động dự kiến nên tỉ lệ giữa năng suất lao động thực tế và năng suất lao động dự kiến là \(\frac{3}{2}\).

Mà năng suất lao động và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \(\frac{{12}}{t} = \frac{3}{2}\).

Do đó: \(t = \frac{{2.12}}{3} = 8\) (ngày).

Vậy thời gian thực tế đội sản xuất hoàn thành công việc là 8 ngày.

Bài toán 1: Theo kế hoạch, một đội sản xuất có 24 công nhân phải làm xong một công việc trong 15 giờ. Nhưng khi bắt đầu công việc, đội phải điều động 6 công nhân đi làm việc khác. Hỏi đội đã hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu giờ? Giả sử năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.

Giải

Số công nhân làm việc trên thực tế của đội sản xuất là:

24 – 6 = 18 (công nhân).

Gọi x (công nhân), y (giờ) lẫn lượt là số công nhân và thời gian đội sản xuất hoàn thành công việc. Khi đó, mối quan hệ giữa số công nhân (x) và thời gian hoàn thành công việc (y) được cho trone bảng sau:

Ta có thời gian hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số công nhân làm việc theo hệ số tỉ lệ

\(a = {x_1}.{y_1} = 24.15 = 360.\)

Suy ra \(18.{y_2} = 360.\) Vì thế \({y_2} = 360:18 = 20\) (giờ).

Vậy trên thực tế đội đã hoàn thành công việc trong 20 giờ.

Bài toán 2: Đề tổ chức liên hoan cho gia đình, bác Ngọc dự định mua 2,9 kg thực phẩm gồm: thịt bò, thịt lợn, tôm sú. Số tiên bác Ngọc mua mỗi loại thực phẩm là như nhau. Biết giá thịt bò là 280 nghìn đồng/kg, giá thịt lợn là 160 nghìn đồng/kg và giá tôm sú là 320 nghìn đồng/kg. Mỗi loại thực phẩm bác Ngọc mua được lả bao nhiêu ki-lô-gam?

Giải

Gọi x (kg), y (kg), z (kg) lần lượt là số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm ác Ngọc mua được. Khi đó: x + y + z= 2,9.

Vì số tiền mua mỗi loại thực phẩm là như nhau nên:

280 . x = 160 . y  = 320 . z

Hay: 7 . x = 4 . y = 320 . z

Suy ra: \(\frac{x}{{\frac{1}{7}}} = \frac{y}{{\frac{1}{4}}} = \frac{z}{{\frac{1}{8}}} = \frac{{x + y + z}}{{\frac{1}{7} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}} = \frac{{2,9}}{{\frac{{29}}{{56}}}} = 5,6.\) 

Do đó:

\(\begin{array}{l}
x = 5,6.\frac{1}{7} = 0,8\left( {kg} \right);\\
y = 5,6.\frac{1}{4} = 1,4\left( {kg} \right);\\
z = 5,6.\frac{1}{8} = 0,7\left( {kg} \right).
\end{array}\) 

Vậy số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm sú mà bác Ngọc mua được lần lượt là: 0,8 kg; 1.4 kg; 07 kg.

Câu 1: Một công nhân theo kế hoạch cần phải làm 1 000 sản phẩm.

a) Gọi x (h) là thời gian người công nhân đó làm và y là số sản phẩm làm được trong 1 giờ. Viết công thức tính y theo x.

b) Hỏi x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch hay không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ.

c) Tính giá trị của y khi x = 10; x = 20; x = 25.

Hướng dẫn giải

a) y = \(\frac{{1000}}{x}\)

b) x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch vì x và y liên hệ với nhau theo công thức y = \(\frac{{1000}}{x}\)

Hệ số tỉ lệ là: 1000

c) Khi x = 10 thì y = \(\frac{{1000}}{{10}} = 100\)

Khi x = 20 thì y = \(\frac{{1000}}{{20}} = 50\)

Khi x = 25 thì y = \(\frac{{1000}}{{25}} = 40\)

Câu 2: Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau:

a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ

b) Tìm số thích hợp cho ? trong bảng trên

c) So sánh các tỉ số: x₁y₁ ; x₂y₂ ; x₃y₃ ; x₄y₄.

d) So sánh các tỉ số: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) và \(\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}\); \(\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}}\) và \(\frac{{{y_3}}}{{{y_1}}}\); \(\frac{{{x_3}}}{{{x_4}}}\) và \(\frac{{{y_4}}}{{{y_3}}}\)

Hướng dẫn giải

a) Hệ số tỉ lệ a = x₁.y₁ = 20. 9 =180

b) Ta có: y= \(\frac{{180}}{x}\)

Khi x₂ = 18 thì y₂ = \(\frac{{180}}{{{x_2}}} = \frac{{180}}{{18}} = 10\)

Khi x₃ = 15 thì y₃ = \(\frac{{180}}{{{x_3}}} = \frac{{180}}{{15}} = 12\)

Khi x₄ = 18 thì y₄ = \(\frac{{180}}{{{x_4}}} = \frac{{180}}{5} = 36\)

c) Tích x₁.y₁ = 20. 9 =180

x₂.y₂ = 18.10 =180

x₃.y₃ = 15.12 =180

x₄.y₄ = 5.36 =180

Vậy x₁y₁ = x₂y₂ = x₃y₃ = x₄y₄ =180

d) Ta có:

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) = \(\frac{{20}}{{18}}\)=\(\frac{{10}}{9}\) ; \(\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}\)= \(\frac{{10}}{9}\)

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}}\) = \(\frac{{20}}{{15}}\)=\(\frac{4}{3}\) ; \(\frac{{{y_3}}}{{{y_1}}}\) = \(\frac{{12}}{9}\) = \(\frac{4}{3}\)

\(\frac{{{x_3}}}{{{x_4}}}\) = \(\frac{{15}}{5}\) = 3; \(\frac{{{y_4}}}{{{y_3}}}\)= \(\frac{{36}}{{12}}\) = 3

Vậy \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) = \(\frac{{{y_2}}}{{{y_1}}}\); \(\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}}\)= \(\frac{{{y_3}}}{{{y_1}}}\); \(\frac{{{x_3}}}{{{x_4}}}\) = \(\frac{{{y_4}}}{{{y_3}}}\)

Câu 3: Một xưởng may có 56 công nhân dự định hoàn thành một hợp đồng trong 21 ngày. Nhưng bên đặt hàng muốn nhận hàng sớm nên xưởng may cần phải hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày. Hỏi xưởng may cần tăng thêm bao nhiêu công nhân? Giả sử năng suất của mỗi công nhân là như nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi số công nhân cần để hoàn thành hợp đồng trong 14 ngày là x (x > 0)

Vì khối lượng công việc không đổi và năng suất của mỗi người là như nhau nên số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên theo tính chất của 2 đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: 56.21 = x.14 nên x = \(\frac{{56.21}}{{14}} = 84\)

Số công nhân cần tăng thêm là:

84 – 56 = 28 (người)