Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phép nhân hai đa thức một biến
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. |
---|
Ví dụ: Thực hiện phép nhân.
\(\begin{array}{l}
a)\;\;3x.\left( {2{x^2} – 4x + 5} \right);\\
b)\;\;\left( {2x + 3} \right).\left( {x + 1} \right).
\end{array}\)
Giải
a) Ta có: \(3x.\left( {2{x^2} – 4x + 5} \right) = 3x.\left( {2{x^2}} \right) + 3x.\left( { – 4x} \right) + 3x.5 = 6{x^3} – 12{x^2} + 15.\).
Ta nói đa thức \(6{x^3} – 12{x^2} + 15\) là tích của 3x và \(\left( {2{x^2} – 4x + 5}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left( {2x + 3} \right).\left( {x + 1} \right). = 2x.\left( {x + 1} \right) + 3.\left( {x + 1} \right) = 2{x^2} + 2x + 3x + 3\\
= 2{x^2} + 5x + 3
\end{array}\)
Ta cũng có thẻ thực hiện phép nhân đa thức theo cách sau:
1.2. Phép chia hai đa thức một biến
*Chia đa thức cho đa thức (chia hết)
Cho hai đa thức P và Q (với Q \( \ne \) 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q . M |
---|
TTa gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).
Kí hiệu M = P : Q hoặc \(M = \frac{P}{Q}\).
Ví dụ: Muốn chia đa thức 3x6 – 5x5 + 7x4 cho 2x3 ta thực hiện như sau:
\(\begin{array}{l}
\left( {3{x^6}\; – {\rm{ }}5{x^5}\; + {\rm{ }}7{x^4}} \right):2{x^3} = \left( {3{x^6}:2{x^3}} \right) + \left( { – {\rm{ }}5{x^5}:2{x^3}} \right) + \left( {7{x^4}:2{x^3}} \right)\\
= \frac{3}{2}{x^3} – \frac{5}{2}{x^2} + \frac{7}{2}x
\end{array}\)
*Chia đa thức cho đa thức (chia có dư)
Ví dụ: Đề thực hiện phép chia đa thức \(P\left( x \right) = 3{x^2} – 5x + 2\) cho \(Q\left( x \right) = x – 2\) thì ta làm tương tự như trên và có:
Phép chia nêu trên có dư là 4 và ta có: \(3{x^2} – 5x + 2 = \left( {x – 2} \right)\left( {3x + 1} \right) + 4\).
Nhận xét: Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B.Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
1.3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến
Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số. Ta có: * A . B = B . A; * A . (B . C) = (A . B) . C. |
---|
Ví dụ: Thực hiện phép tính: \(6.\left( {{x^2} – 2} \right).\frac{1}{2}\).
Giải
\(\begin{array}{l}
6.\left( {{x^2} – 2} \right).\frac{1}{2} = 6.\left[ {\left( {{x^2} – 2} \right).\frac{1}{2}} \right] = 6.\left[ {\frac{1}{2}.\left( {{x^2} – 2} \right)} \right]\\
= \left( {6.\frac{1}{2}} \right).\left( {{x^2} – 2} \right) = 3.\left( {{x^2} – 2} \right) = 3{x^2} – 6
\end{array}\)
Bài tập minh họa
Câu 1: Thực hiện phép nhân \((4x – 3)(2{x^2} + 5x – 6)\)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}(4x – 3)(2{x^2} + 5x – 6)\\ = 4x.2{x^2} + 4x.5x – 6.4x – 3.2{x^2} – 3.5x + 18\\ = 8{x^3} + 20{x^2} – 6{x^2} – 24x – 15x + 18\\ = 8{x^3} + 14{x^2} – 39x + 18\end{array}\)
Câu 2: Tìm đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 2.
Hướng dẫn giải
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
\(\begin{array}{l}(x + 3).(x – 1).(x – 2)\\ = \left[ {(x + 3).(x – 1)} \right].(x – 2)\\ = (x.x – 1.x + 3.x – 3.1)(x – 2)\\ = ({x^2} + 2x – 3)(x – 2)\\ = {x^2}.x – 2.{x^2} + 2x.x – 2x.2 – 3.x + 3.2\\ = {x^3} – 7x + 6\end{array}\)
Câu 3: Thực hiện các phép chia sau \(\frac{{9{x^2} + 5x + x}}{{3x}}\) và \(\frac{{(2{x^2} – 4x) + (x – 2)}}{{2 – x}}\)
Hướng dẫn giải
\(\frac{{9{x^2} + 5x + x}}{{3x}} = \frac{{9{x^2} + 6x}}{{3x}} = \frac{{9{x^2}}}{{3x}} + \frac{{6x}}{{3x}} = 3x + 2\)
\(\frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{2 – x}} = \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{ – x + 2}} = – 2x – 1\)