Bài tập cuối chương 2 – Toan7 – CT

a) Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

+ Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. + Mỗi số thập phân vô hạn tuần hoàn biểu diễn 1 số hữu tỉ. Chữ số hay cụm chữ số lặp đi lặp lại được gọi là chu kì.

Chú ý:

+ Mọi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

+ Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố nào khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

+ Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

b) Số vô tỉ

– Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số, số đó gọi là số vô tỉ. 

– Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I.

c) Căn bậc hai số học

Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x2 = a. Ta dùng kí hiệu \(\sqrt a \) để chỉ căn bậc hai số học của a. Một số không âm a có đúng một căn bậc hai số học.

Chú ý: Cho \(a \ge 0\). Khi đó:

+ Đẳng thức \(\sqrt a  = b\) đúng nếu \(b \ge 0;{b^2} = a\)

+ \({\left( {\sqrt a } \right)^2} = a\)

a) Số thực và tập hợp các số thực

– Ta gọi chung sô hữu tỉ và số vô tỉ là số thực. – Tập hợp các số thực được kí hiệu là R.

Cách viết \(x \in R\) cho ta biết x là một sô thực.

Như vậy, mỗi số thực chỉ cỏ một trong hai dạng biểu diễn thập phân sau đây:

+ Dạng thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn nêu sô đó là số hữu tỉ;

+  Dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn nên số đó là số vô tỉ.

b) Thứ tự trong tập hợp các số thực

So sánh 2 số thực:

* Các số thực đều viết được dưới dạng số thập phân ( hữu hạn hay vô hạn). Ta có thể so sánh 2 số thực tương tự như so sánh số thập phân. * Với hai số thưucj x, y bất kì, ta luôn có hoặc x < y hoặc x > y hoặc x = y.

Chú ý: 

* Với 2 số thực bất kì, ta luôn có hoặc a = b hoặc a > b hoặc a < b

* Nếu a < b ; b < c thì a < c ( Tính chất bắc cầu)

* Nếu a < b thì điểm a nằm trước điểm b trên trục số

* Nếu 0 < a < b thì \(\sqrt a  < \sqrt b \)

c) Trục số thực

+ Trong tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

* Trục số thực được biểu diễn bởi 1 số điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Chú ý: Các số thực lấp đầy trục số.

d) Số đối của một số thực

Hai số thực có điểm biểu diễn trên trục số cách đều điểm gốc O và nằm về hai phía ngược nhau là hai số đối nhau, số này là số đối của số kia. Số đối của số thực x là –x. Ta có: x + (-x) = 0.

Chú ý: Nếu a > b thì –a < -b

e) Giá trị tuyệt đối của một số thực

Giá trị tuyệt đối của một số thực x là khoảng cách từ điểm x đến điểm ) trên trục số. Giá trị tuyệt đối của số thực x được kí hiệu là \(\left| x \right|\).

Nhận xét:

+ Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau

+ Giá trị tuyệt đối của 0 là 0

+ Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó

+ Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó

+ Giá trị tuyệt đối của một số thực luôn không âm.

Chú ý: Giả sử 2 điểm A và B lần lượt biểu diễn 2 số thực a và b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là | a – b|

a) Làm tròn số

Ta đã biết cách làm tròn số thập phân hữu hạn: Cách làm tròn sô thập phân vô hạn cũng
tương tự như vậy.

Khi làm tròn một số thập phân đền hàng nào thì hàng đó gọi là hàng quy tròn. Muôn làm tròn sô thập phân đến một hàng quy tròn nào đó, ta thực hiện các bước sau: – Gạch dưới chữ sô thập phân của hàng quy tròn. – Nhìn sang chữ số ngay bên phải: + Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng chữ sô gạch dưới lên một đơn vị rồi thay tật cả các chữ số bên phải bằng số 0 hoặc bỏ đi nêu chúng ở phân thập phân. + Nếu chữ sô đó nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số gạch đưới và thay tất cả các chữ số bên phải bằng sô 0 hoặc bỏ đi nêu chúng ở phần thập phân.

Chú ý:

– Ta phải viết một số dưới đạng thập phân trước khi làm tròn.

– Khi làm tròn số thập phân ta không quan tâm đền dâu của nó.

b) Làm tròn số căn cứ vào độ chính xác cho trước

Cho số thực d, nêu khi làm tròn số a ta thu được được sô x thoả mãn \(\left| {a – x} \right| \le d\) thi ta nói x là số làm tròn của số a với độ chính xác d.

Chú ý:

– Nếu độ chính xác d là số chục thì ta thường làm tròn a đến hàng trăm;

– Nếu độ chính xác d là số phần nghìn thì ta thường làm tròn a đến hàng phần trăm;…

c) Ước lượng các phép tính

Ta có thể áp dụng quy tắc làm tròn sô đề ước lượng kết quả các phép tính. Nhờ đó có thể dễ dàng phát hiện ra những đáp số không hợp lí, đặc biệt là những sai sót do bấm nhằm nút khi sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1: 

a) Tìm giá trị của x2 với x lần lượt bằng 2; 3; 4; 5; 10.

b) Tìm số thực không âm x với x2 lần lượt bằng 4; 9; 16; 25; 100.

Hướng dẫn giải

a) Các giá trị của x2 lần lượt là: 4; 9; 16; 25; 100.

b) Các số thực không âm x lần lượt là: 2; 3; 4; 5; 10.

Câu 2: So sánh hai số thực:

a) 4,(56) và 4,56279;

b) -3,(65) và -3,6491;

c) 0,(21) và 0,2(12);

d) \(\sqrt 2 \) và 1,42.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 4,(56)= 4,5656….

Vì 4,5656… > 4,56279 nên 4,(56) > 4,56279

b) Ta có:

-3,(65) = -3,6565…

Vì 3,6565… 3,6491 nên -3,6565…> -3,6491. Do đó, -3,(65) < -3,6491;

c) 0,(21)=\(\frac{7}{{33}}\) và 0,2(12)= \(\frac{7}{{33}}\) nên 0,(21) = 0,2(12).

d) \(\sqrt 2  = 0,41421…\)< 1,42.

Câu 3: Tìm số đối của các số thực sau: \(5,12;{\rm{ }}\pi ;{\rm{ }} – \sqrt {13} .\)

Hướng dẫn giải

Số đối của số: 5,12 là -5,12

Số đối của số: \(\pi \) là \( – \pi \)

Số đối của số: \( – \sqrt {13} \) là \(\sqrt {13} \).

Câu 4: 

a) Gọi x là số làm tròn đến hàng chục của số a=3128. Hãy chứng tỏ:

\(\left| {a – x} \right| \le 5\) và \(x – 5 \le a \le x + 5\)

b) Gọi y là số làm tròn đến hàng phần trăm của \(\frac{1}{3}\). Hãy chứng tỏ \(\left| {\frac{1}{3} – y} \right| \le 0,005\).

Hướng dẫn giải

a)

+) Ta có: a=3128 suy ra \(x = 3130\).

\(\left| {a – x} \right| = \left| {3128 – 3130} \right| = \left| { – 2} \right| = 2 \le 5\)

Vậy \(\left| {a – x} \right| \le 5\).

+) Ta có:

 \(\begin{array}{l}x – 5 = 3128 – 5 = 3123\\x + 5 = 3128 + 5 = 3133\end{array}\)

Nên \(x – 5 \le a \le x + 5\)

b) Do y là số làm tròn đến hàng phần trăm của \(\frac{1}{3}\) nên \(y = 0,33\).

Ta có: \(\left| {\frac{1}{3} – y} \right| = \left| {\frac{1}{3} – 0,33} \right| = \left| {\frac{1}{{300}}} \right| = \frac{1}{{300}} = 0,00\left( 3 \right) \le 0,005\).

Nên \(\left| {\frac{1}{3} – y} \right| \le 0,005\).