Bài tập cuối chương 7 – Toan 7 – CT

a) Biểu thức số

Ta đã biết: Các sô được nôi với nhau bởi dâu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa tạo thành một biểu thức.

Chẳng hạn: 3 + 7 – 2; 4 . 5 : 2; 2(5 + 8); 2 . 34 + 9; 5 . 23 – 4 . 32 là những biểu thức.

Những biểu thức như trên còn được gọi là biểu thức số.

b) Biểu thức đại số

Biểu thức gồm các số và các chữ (đại điện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa được gọi là biểu thức đại số. Các chữ trong biểu thức đại số được gọi là biến số (hay gọi tắt là biến)

Lưu ý: Trong biểu thức đại số

– Người ta cũng dùng các dấu ngoặc đề chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

– Vì biến đại điện cho số nên khi thực hiện các phép tính trên các biến, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép tính như trên các số. Chẳng hạn:

x + y = y + x;        x + (y + z) = (x + y) + z;         x(y + z) = xy + xz.

xy = yx;                 x(yz) = (xy)z;                         -x(y – z) = – xy + xz;….

c) Giá trị của biểu thức đại số

Đề tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính. 

a) Đa thức một biến

Đơn thức một biển là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và biến đó.

Chú ý: Ta có thể thực hiện các phép tính công, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

Nhận xét:

– Phép cộng và phép trừ hai đơn thức cùng một biến chỉ thực hiện được khi biến có cùng số mũ.

– Phép chia hết của hai đơn thức cùng một biến chỉ thực hiện được khi số mũ của biến trong đơn thức bị chia lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến trong đơn thức chia.

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến. Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

Quy ước: P = 0 được gọi là đa thức không. 

b) Cách biểu diễn đa thức một biến

Bậc của đa thức một biên (khác đa thức không, đã được viết thành đa thức thu gọn) là số mũ lớn nhât của biến trong đa thức đó.

Chú ý:

– Số thực khác 0 là đa thức bậc 0.

– Số 0 được coi là đa thức không cỏ bậc

c) Giá trị của đa thức một biến

Cho đa thức A(x) = 2x4 – 8x2 + 5x – 7.

Ta có:

A(3)=2 . 34 – 8 . 32 + 5 . 3 – 7 = 162 – 72 + 15 – 7 = 98.

Ta nói đa thức A(x) có giá trị là 98 khi x = 3.

d) Nghiệm của đa thức một biến

Nếu đa thức P(x) có giá trị bằng 0 tại x = a thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.

a) Phép cộng hai đa thức một biến

Để cộng hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

– Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng luỹ thừa của biến rồi thực hiện phép công.

– Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo thứ tự luỹ thừa tăng dần (hoặc giảm dân) của biến và đặt tính dọc sao cho luỹ thừa giống nhau ở hai đa thức thắng cột với nhau, rời thực hiện cộng theo cột.

b) Phép trừ hai đa thức một biến

Để trừ hai đa thức một biến, ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

– Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng luỹ thừa của biến rồi thực hiện phép trừ.

– Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo thứ tự luỹ thừa tăng dần (hoặc giảm dân) của biên và đặt tính dọc sao cho luỹ thừa giông nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau, rồi thực hiện trừ theo cột.

c) Tính chất của phép cộng đa thức một biến

Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số. Ta có:

* A + B = B + A;

* A + (B + C) = (A + B) + C. 

a) Phép nhân hai đa thức một biến

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

b) Phép chia hai đa thức một biến

*Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

Cho hai đa thức P và Q (với Q \( \ne \) 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q . M

TTa gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

Kí hiệu M = P : Q hoặc \(M = \frac{P}{Q}\).

Ví dụ: Muốn chia đa thức 3x6 – 5x5 + 7x4 cho 2x3 ta thực hiện như sau:

\(\begin{array}{l}
\left( {3{x^6}\; – {\rm{ }}5{x^5}\; + {\rm{ }}7{x^4}} \right):2{x^3} = \left( {3{x^6}:2{x^3}} \right) + \left( { – {\rm{ }}5{x^5}:2{x^3}} \right) + \left( {7{x^4}:2{x^3}} \right)\\
 = \frac{3}{2}{x^3} – \frac{5}{2}{x^2} + \frac{7}{2}x
\end{array}\) 

*Chia đa thức cho đa thức (chia có dư)

Ví dụ: Đề thực hiện phép chia đa thức \(P\left( x \right) = 3{x^2} – 5x + 2\) cho \(Q\left( x \right) = x – 2\) thì ta làm tương tự như trên và có:

Phép chia nêu trên có dư là 4 và ta có: \(3{x^2} – 5x + 2 = \left( {x – 2} \right)\left( {3x + 1} \right) + 4\).

Nhận xét: Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B.Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

c) Tính chất của phép nhân đa thức một biến

Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số. Ta có: 

* A . B = B . A;

* A . (B . C) = (A . B) . C.

Câu 1: Hãy tính giá trị của biểu thức \(3{x^2} – 4x + 2\) khi x = 2

Hướng dẫn giải

Thay x = 2 vào biểu thức đã cho, ta có :

\(3{x^2} – 4x + 2 = {3.2^2} – 4.2 + 2 = 12 – 8 + 2= 6\)

Câu 2: Tính giá trị của đa thức \(M(t)= – 5{t^3} + 6{t^2} + 2t + 1\) khi \(t = -2\).

Hướng dẫn giải

Thay t = -2 đã cho vào đa thức ta được : \(M(-2) = – 5.{( – 2)^3} + 6.{( – 2)^2} + 2.( – 2) + 1= 61\)

Câu 3: Cho P(x) = \({x^4} + {x^2} – 9x – 9\). Hỏi mỗi số x = -1, x = 1 có phải là một nghiệm của P(x) không?

Hướng dẫn giải

Ta có : P(x) = \({x^4} + {x^2} – 9x – 9\)

Thay x = 1 vào ta có : P(1) =\({x^3} + {x^2} – 9x – 9 = {1^3} + {1^2} – 9.1 – 9 =  – 16\)

Thay x = -1 vào ta có : P(-1) = \({x^3} + {x^2} – 9x – 9 = {( – 1)^3} + {( – 1)^2} – 9.( – 1) – 9 = 0\)

Vậy x = -1 là nghiệm của P(x)

Câu 4: Cho hai đa thức P(x) = \(2{x^3} – 9{x^2} + 5\) và Q(x) = \(2{x^2} + 4{x^3} – 7x\). Hãy tính P(x) – Q(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có P(x) – Q(x)

= 2x3 – 9x2 + 5 – (2x2 + 4x3 – 7x)

= 2x3 – 9x2 + 5 – 2x2 – 4x3 + 7x

= (2x3 – 4x3) + (-9x2 – 2x2) + 7x + 5

= -2x3 – 11x2 + 7x + 5

Cách 2:

P(x) = 2x3 – 9x2 + 5

Q(x) = 4x3 + 2x2 – 7x

Câu 5: Thực hiện phép tính \((x – 4) + \left[ {({x^2} + 2x) + (7 – x)} \right]\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}(x – 4) + \left[ {({x^2} + 2x) + (7 – x)} \right]\\ = x – 4 + ({x^2} + 2x + 7 – x)\\ = x – 4 + {x^2} + 2x + 7 – x\\ = {x^2} + (x + 2x – x) + ( – 4 + 7)\\ = {x^2} + 2x + 3\end{array}\) 

Câu 6: Tìm đa thức theo biến x biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 2.

Hướng dẫn giải

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\(\begin{array}{l}(x + 3).(x – 1).(x – 2)\\ = \left[ {(x + 3).(x – 1)} \right].(x – 2)\\ = (x.x – 1.x + 3.x – 3.1)(x – 2)\\ = ({x^2} + 2x – 3)(x – 2)\\ = {x^2}.x – 2.{x^2} + 2x.x – 2x.2 – 3.x + 3.2\\ = {x^3} – 7x + 6\end{array}\)

Câu 7: Thực hiện các phép chia sau \(\frac{{9{x^2} + 5x + x}}{{3x}}\) và \(\frac{{(2{x^2} – 4x) + (x – 2)}}{{2 – x}}\)

Hướng dẫn giải 

\(\frac{{9{x^2} + 5x + x}}{{3x}} = \frac{{9{x^2} + 6x}}{{3x}} = \frac{{9{x^2}}}{{3x}} + \frac{{6x}}{{3x}} = 3x + 2\)

\(\frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{2 – x}} = \frac{{2{x^2} – 3x – 2}}{{ – x + 2}} =  – 2x – 1\)