1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Tỉ số của hai số hữu tỉ
Thương trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ b, với \(b \ne 0\), gọi là tỉ số của a và b, kí hiệu \(\frac{a}{b}\,\,(b \ne 0)\).
Chú ý:
-
Tỉ số của a và b đôi khi cũng được nói là tỉ số giữa a và b.
-
Khái niệm tỉ số thường được sử dụng để nói về thương của hai đại lượng cùng đơn vị đo, do vậy vậy khi lập tỉ số giữa hai đại lượng thì cần phải đưa các đại lượng về cùng một đơn vị đo và tỉ số giữa hai đại lượng (cùng đơn vị đo) là tỉ số giữa số đo của đại lượng thứ nhất với số đo của đại lượng thứ hai.
1.2. Tỉ lệ thức
a) Định nghĩa
Nếu hai tỉ số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) bằng nhau thì ta có tỉ lệ thức:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) hoặc \(a:b = c:d\)
-
Trong tỉ lệ thức trên đây thì các số hạng a, b được gọi là các ngoại tỉ, còn b, c gọi là các trung tỉ. Tỉ lệ thức còn gọi là đẳng thức tỉ lệ.
b) Tính chất
Tính chất này được phát biểu như sau: Trong một tỉ lệ thức thì tích các trung tỉ bằng các ngoại tỉ.
-
Từ đẳng thức ad = bc với \(a,b,c,d \ne 0,\) ta có thể suy ra bốn tỉ lệ thức sau:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\,\,\,\,\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\,\,\,\frac{c}{a} = \frac{d}{b};\,\,\,\,\frac{d}{c} = \frac{b}{a}.\)
Trong bốn tỉ lệ thức, để từ một tỉ lệ thức này suy ra một tỉ lệ thức khác, ta thực hiện việc hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ.
-
Trong một tỉ lệ thức, nếu biết ba số hạng thì ta có thể tìm được số hạng thứ tư.
-
Trong tỉ lệ thức \(\frac{x}{a} = \frac{b}{x},\) ta có \({x^2} = a.b.\) Số x được gọi là trung bình nhân của hai số a và b.
2. Bài tập minh họa
Câu 1:
a) Cho bốn số 4; 8; 13; 26. Có thể lập được một tỉ lệ thức từ bốn số ấy không? Nếu có thì lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có.
b) Cho ba số 2,25 ; 7, 5 và \(\frac{{25}}{6}.\) Tìm một số x để hợp với ba số đã cho thành một bộ bốn số mà từ đó ta có thể lập thành các tỉ lệ thức.
Hướng dẫn giải
a) Ta có 8.13 = 104; 4. 26 = 104
Do đó 8 . 13 = 4 . 26
Vậy với bốn số 4, 8, 13, 26 ta có thể lập thành các tỉ lệ thức:
\(\frac{4}{8} = \frac{{23}}{{26}};\,\,\,\,\frac{8}{4} = \frac{{26}}{{13}};\,\,\,\frac{4}{{13}} = \frac{8}{{26}};\,\,\,\frac{{13}}{4} = \frac{{26}}{8}\)
b) Ta có \(7,5:2,25 = x:\frac{{25}}{6}\)
\( \Rightarrow x = \frac{{7,5.\frac{{25}}{6}}}{{2,25}} = \left( {\frac{{15}}{2}.\frac{{25}}{6}} \right):\frac{9}{4}\)
\( \Rightarrow x = \frac{{125}}{9}.\)
Câu 2: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ta suy ra \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}.\)
Hướng dẫn giải
Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Ta cộng thêm 1 vào hai vế và có:
\(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)
Chú ý: Ta còn có thể có các cách chứng minh khác như sau:
Cộng cả hai vế của đẳng thức này với bd, ta có:
\(ad + bd = bc + bd \Rightarrow d(a + b) = b(c + d)\)
Từ đẳng thức này ta có \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)
\( \Rightarrow a + b = kb + b = b(k + 1)\)
\(c + d = kd + d = d(k + 1)\)
Vậy: \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{b(k + 1)}}{b} = k + 1;\,\,\frac{{c + d}}{d} = \frac{{d(k + 1)}}{d} = k + 1;\)
Từ hai kết quả này, ta có ngay \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\).
Câu 3: Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số sau đây không? Nếu có hãy viết các tỉ lệ thức đó: 3; 9; 27; 81; 243
Hướng dẫn giải
Từ 4 trong 5 số đã cho, ta có thể lập được ba đẳng thức:
3 .243 = 9.81 (1)
9.243=27.81 (2)
3.81 = 9.27 (3)
Từ mỗi đẳng thức trên, ta lại lập được bốn tỉ lệ thức.
Ví dụ từ (1) ta có:
\(\frac{3}{9} = \frac{{81}}{{243}};\,\,\,\frac{3}{{81}} = \frac{9}{{243}};\,\,\,\frac{{243}}{9} = \frac{{81}}{3};\,\,\,\,\frac{{243}}{{81}} = \frac{9}{3}\)
Vậy có thể lập được 12 tỉ lệ thức từ các số đã cho.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm x trong tỉ lệ thức:
a. \(\frac{{x – 1}}{{x + 5}} = \frac{6}{7}\,\,\,(x \ne 5)\)
b. \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}}\)
c. \(\frac{{x – 2}}{{x – 1}} = \frac{{x + 4}}{{x + 7}}(x \ne 1,x \ne – 7)\)
Câu 2: Chứng minh tứ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (với \(b,d \ne 0\) ) ta suy ra được \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\).
Câu 3: Tìm hai số x và y biết:
\(\frac{x}{7} = \frac{y}{{13}}\) và x + y =40
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho đẳng thức \(a{\rm{d}} = bc\,\,(a,b,c,d \ne 0)\). Tỉ lệ thức nào sau đây là sai:
A. \(\frac{a}{d} = \frac{b}{c}\)
B. \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)
C. \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)
D. \(\frac{d}{c} = \frac{b}{a}\)
Câu 2: Cặp số nào sau đây lập thành một tỉ lệ thức?
A. \(\frac{8}{{12}}\) và \(\frac{{12}}{{10}}\)
B. \(0,4:\frac{5}{3}\) và \(\frac{3}{5}\)
C. 0,25 : 1,75 và \(\frac{2}{{14}}\)
D. 0,25 : 1,5 và \(\frac{1}{3}\)
Câu 3: Giá trị của x trong tỉ lệ thức \(\frac{{ – 4,8}}{x} = \frac{{12}}{{0,2}}\) là ?
A. -0,08
B. \(\frac{2}{{25}}\)
C. -0,06
D. \(\frac{4}{9}\)
Câu 4: Cho \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\) và \(x + y = 24\). Tổng của x, y là?
A. 10
B. 14
C. 22
D. 24
Câu 5: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), điều nào sau đây không đúng?
A. ad = bc
B. \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)
C. \(\frac{c}{a} = \frac{d}{b}\)
D. ab = cd
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:
-
Tỉ số của hai số hữu tỉ.
-
Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức.