1. Tóm tắt lý thuyết
Để giải các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận ta vận dụng các kiến thức sau:
- Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận: \(\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_3}}}{{{x_3}}}…\)
- Tính chất của dãy số bằng nhau: \(\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \frac{{{y_2}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{{y_1} – {y_2}}}{{{x_1} – {x_2}}} = ….\)
Ví dụ: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Số cây mỗi lớp trồng tỉ lệ với các số 3; 5; 8 và hai lần số cây lớp 7A cộng với bốn lần số cây lớp 7B thì hơn số cây lớp 7C là 108 cây. Tính số cây mỗi lớp.
Hướng dẫn giải
Gọi x, y, z lần lượt là số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}\) và \(2x+4y-z=108\)
Khi đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{{2x + 4y – z}}{{2.3 + 5.4 – 8}} = \frac{{108}}{{18}} = 6\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
\frac{x}{3} = 6 \Rightarrow x = 6.3 = 18\\
\frac{y}{5} = 6 \Rightarrow y = 6.5 = 30\\
\frac{z}{8} = 6 \Rightarrow z = 6.8 = 48
\end{array}\)
Vậy lớp 7A trồng được 18 cây, lớp 7B trồng được 30 cây, lớp 7C trồng được 48 cây.
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Biết các số x, y, z tỉ lệ thuận với các số 5, 3,2 và x – y + z = 8. Tìm các số đó.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x – y + 2}}{{5 – 3 + 2}} = \frac{8}{4} = 2\)
Do đó:
x = 2.5 = 10
y= 2.3 = 6
z= 2.2 =4.
Câu 2: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỷ lệ 7; 6; 5. Sau đó chia số a cũng thành ba phần A’, B’, C’ nhưng lại theo tỷ kệ 6; 5; 4.
a. Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A’, B’, C’ tăng hay giảm.
b. Biết rằng có một phần tăng 1200. Tính số a và A’, B’, C’ trong lần chia sau.
Hướng dẫn giải
a. Trong lần đầu ta có:
\(\frac{A}{7} = \frac{B}{6} = \frac{C}{5}\) và A + B + C = a
Suy ra \(\frac{A}{7} = \frac{B}{6} = \frac{C}{5} = \frac{{A + B + C}}{{7 + 6 + 5}} = \frac{a}{{18}}\)
Nên \(A = \frac{{7a}}{{18}};\,\,\,\,B = \frac{{6a}}{{18}};\,\,\,\,\,C = \frac{{5a}}{{18}}\)
Trong lần chia sau, ta có:
\(\frac{{A’}}{6} = \frac{{B’}}{5} = \frac{{C’}}{4}\) và A’ + B’ + C’ = a
Suy ra \(\frac{{A’}}{6} = \frac{{B’}}{5} = \frac{{C’}}{4} = \frac{{A’ + B’ + C’}}{{6 + 5 + 4}} = \frac{a}{{15}}\)
Nên \(A’ = \frac{{6a}}{{15}};\,\,\,\,B’ = \frac{{5a}}{{15}};\,\,\,\,\,C’ = \frac{{4a}}{{15}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{7a}}{{18}} = \frac{{35a}}{{90}};\,\,\,\,\,\,\frac{{6a}}{{15}} = \frac{{36a}}{{90}} \Rightarrow \frac{{7a}}{{18}} < \frac{{6a}}{{15}}\\\frac{{6a}}{{18}} = \frac{a}{3};\,\,\,\frac{{5a}}{{15}} = \frac{a}{3} \Rightarrow \frac{{6a}}{{18}} = \frac{{5a}}{{15}}\\\frac{{5a}}{{18}} = \frac{{25a}}{{90}};\,\,\,\frac{{4a}}{{15}} = \frac{{24a}}{{90}} \Rightarrow \frac{{5a}}{{18}} > \frac{{4a}}{{15}}\end{array}\)
Vậy so với lần chia đầu thì lần chia sau A’ tăng, B’ vẫn giữ nguyên và C’ giảm.
b. Ta có A’ tăng 1200.
Nên:
A’ – A = 1200 hay \(\frac{{36a}}{{90}} = \frac{{35a}}{{90}} = 1200\)
Do đó: \(\frac{a}{{90}} = 1200\)
Vậy a = 1200.90=108.000
Do đó:
\(\begin{array}{l}A’ = \frac{{6.108000}}{{15}} = 34200\\B’ = \frac{{5.108000}}{{15}} = 36000\\C’ = \frac{{6.108000}}{{15}} = 28800\end{array}\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỷ lệ theo 1:2:3.
Câu 2: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3, phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ tư tỉ lệ với 6 và 7.
Câu 3: Nếu \(\frac{1}{4}\) của 20 là 4 thì \(\frac{1}{3}\) của 10 sẽ là bao nhiêu?
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho x, y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết rằng với hai giá trị x1, x2 của x có tổng bằng 1 thì hai giá trị tương ứng y1, y2 có tổng bằng 5. Biểu diễn y theo x ta được
A. \(y = \frac{1}{5}x\)
B. y = 5x
C. y = 3x
D. y = 2x
Câu 2: Biết độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ thuận với 3, 5, 7. Biết rằng tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất lớn hơn cạnh còn lại là 20m. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác
A. 20m
B. 12m
C. 15m
D. 16m
Câu 3: Khi có y = kx ta nói
A. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k
B. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k
C. x và y không tỉ lệ thuận với nhau
D. Không kết luận được gì về x và y
Câu 4: Dùng 10 máy thì tiêu thụ hết 80 lít xăng. Hỏi dùng 13 máy (cùng loại) thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?
A. 104 lít
B. 140 lít
C. 100 lít
D. 96 lít
Câu 5: Nhân viên vi tính A có thể đánh được 160 từ trong 2,5 phút. Trong 12 phút nhân viên đó đánh được bao nhiêu từ?
A. 678
B. 768
C. 876
D. 786
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Nhận biết được những bài toán liên quan đại lượng tỉ lệ thuận.
- Làm được những bài toán liên quan.