1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Ví dụ: Xét tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.
1.2. Tính chất
Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.
- Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân
- Tam giác vuông cân là tam giác vuông hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Ví dụ: Xét tam giác ABC có \(\widehat B = \widehat C\) nên tam giác ABC cân tại A.
1.3. Tam giác đều
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Ví dụ: Tam giác ABC đều có AB = AC = BC.
Hệ quả:
- Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}\)
- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
- Nếu một tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\) thì tam giác đó là tam giác đều.
Ví dụ:
- Tam giác ABC đều có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \)
- Tam giác ABC có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C\) thì tam giác ABC là tam giác đều.
- Tam giác ABC cân có \(\widehat A =60^\circ \) thì tam giác ABC đều.
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat A = {50^0}\)
a. Tính \(\widehat B,\,\,\widehat C\)
b. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng DE // BC.
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat B = \,\,\widehat C = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} – {{50}^0}}}{2}\\ = \widehat B = \,\,\widehat C = {65^0}\,{\,^{(1)}}\end{array}\)
b. AD = AE nên \(\Delta ADE\) cận tại A
Suy ra \(\,\widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} – {{50}^0}}}{2} = {65^0}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {ADE}\)
Vậy DE // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)
Câu 2: Cho tam giác cân tại A. Gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. So sánh các độ dài BD và CE.
Hướng dẫn giải
.JPG)
Xem hình vẽ:
Cách 1: \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
AB = AC (gt)
\(\widehat A\) chung
Nên \(\Delta ABD = \Delta ACE\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BD = CE.
Cách 2: \(\Delta BDC\) và \(\Delta CEB\) có
CD = BE (gt)
\(\widehat B = \widehat {C\,}\,(gt)\)
BC cạnh chung
Nên \(\Delta BDC = \Delta CEB\,\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BD = CE
Câu 3: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và có \(\widehat B = 2\widehat A\) phân giác của góc B cắt AC tại D.
a. Tính các góc của \(\Delta ABC\)
b. Chứng minh DA = DB
c. Chứng minh DA = BC
Hướng dẫn giải
.JPG)
a. Ta có \(\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = {180^0}\)
mà \(\Delta ABC\)cân tại A, có \(\widehat B = 2\widehat A\), nên:
\(\widehat {A\,} + 2\widehat {A\,} + \widehat {A\,} = {180^0}\)
Thay \(5\widehat {A\,} = {180^0} \Rightarrow \widehat {A\,} = {36^0}\)
Nên \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = 2\widehat {A\,} = {72^0}\)
b. Ta có: \(\widehat {DBA} = \frac{1}{2}\widehat B = {36^0}\) (BD phân giác \(\widehat B\))
mà \(\widehat {A\,} = {36^0}\) nên \(\widehat {A\,} = \widehat {DBA}\)
Suy ra \(\Delta ABD\) cân tại D
Vậy \(DA = DB{\,^{\,(1)}}\)
c. Ta có: \(\widehat {BDC}\) là góc ngoài tại D của \(\Delta ABD\) nên
\(\widehat {BDC} = \widehat {DBA} + \widehat A = {36^0} + {36^0} = {72^0}\)
Mà \(\widehat C = {72^0}\) suy ra \(\Delta DBC\) cân tại B
Nên BD = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AD = BC.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y song song và một đường thẳng cắt x’x tại M và y’y tại N. Trên đường thẳng y’y lấy hai điểm E, F ở về hai phía của N sao cho NE=NF=NM. Chứng minh:
a. ME, MF là hai tia phân giác của hai góc \(\widehat {xMN}\) và \(\widehat {x’MN}\)
b. \(\Delta M{\rm{EF}}\) là tam giác vuông
Câu 2: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Nếu A với D và A với E.
a. So sánh \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\)
b. Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.
Câu 3: Cho \(\Delta ABD,\,\widehat B = 2\widehat D\), kẻ \(AH \bot BD\,\;(H \in BD)\)
Trên tia đối của tia BA lấy BE = BH. Đường thẳng EH cắt ED tại F. Chứng minh: FH = FA = FD.
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Chọn câu sai:
A. Tam giác đều có ba góc bằng nhau và bằng 600
B. Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau
C. Tam giác cân là tam giác đều
D. Tam giác đều là tam giác cân
Câu 2: Hai góc nhọn của tam giác vuông cân bằng nhau và bằng:
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Phát biểu nào trong các phát biểu sau là sai:
A. \(\widehat B = \widehat C\)
B. \(\widehat C = \frac{{{{180}^0} – \widehat A}}{2}\)
C. \(\widehat A = {180^0} – 2\widehat C\)
D. \(\widehat B \ne \widehat C\)
Câu 4: Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 640 thì số đo góc ở đáy là:
A. 540
B. 580
C. 720
D. 900
Câu 5: Một tam giác cân có góc ở đáy bằng 700 thì số đo góc ở đỉnh là:
A. 540
B. 630
C. 700
D. 400
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần đạt được những mục tiêu sau:
-
Định nghĩa, tính chất tam giác cân.
-
Định nghĩa, tính chất tam giác đều.