1. Tóm tắt lý thuyết
Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Ví dụ 1: Tam giác ABC nếu AC > AB thì \(\widehat B > \widehat C\)
Định lí 2: Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Ví dụ 2: Tam giác ABC nên \(\widehat B > \widehat C\) thì AC > AB
Nhận xét:
- Trong \(\Delta ABC\,,\,\,AC > AB \Leftrightarrow \widehat B > \widehat C\)
- Trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông), góc tù (hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất.
2. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC).
Tia phân giác của \(\widehat B\) cắt AC tại D, qua C vẽ đường vuông góc với AC cắt tia đối của tia DB tại I. Chứng minh AB < CI; AC < CI.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BD là tia phân giác \(\widehat {ABC}\)) mà AB // CI (cùng vuông góc với AC
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{I_1}}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {I\,}.\)
Vậy \(\Delta BCI\) cân tại A có AB < BC.
Vậy AB < CI.
Tương tự ta cũng chứng minh được:
AC < CI (vì \(AC < BC \Rightarrow AC < CI\))
Câu 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA người ta lấy điểm D nào đó khác điểm B và trên tia đối của tia CA người ta lấy điểm E sao cho CE = BD. Chứng minh rằng BC nhỏ hơn DE.
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta ACD.\) Góc DCE là góc ngoài đỉnh C của tam giác ấy, nên ta có:
\(\widehat {DCE} > \widehat {CDA}\)
Hai tam giác BCD và EDC có hai cạnh bằng nhau từng một đôi.
BD = EC (theo giả thiết)
CD là cạnh chung
Hai góc xen giữa hai cạnh ấy không bằng nhau \(\widehat {DCE} > \widehat {CDB}\) nên hai cạnh đối diện với hai góc ấy không bằng nhau.
Ta suy ra: BC < DE.
Câu 3: Cho \(\Delta ABC\) có AC > AB, M là trung điểm của BC. Nối AM. Trên tia đối của MA lấy D sao cho MA = MD. Nối BD. So sánh \(\widehat {BAM}\) và \(\widehat {CAM}\).
Hướng dẫn giải
\(\Delta AMC\) và \(\Delta DMB\) có:
AM = DM (gt)
MC = BM (gt)
\(\widehat {AMC} = \widehat {DMB}\) (đối đỉnh)
Nên \(\Delta AMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c)\)
Suy ra \(\widehat {CAM} = \widehat {BDM}\) và AC = DB.
Mà AC > AB (gt)
\( \Rightarrow DB > AB\)
Trong \(\Delta ABD\) có \(BD > AB \Rightarrow \widehat {BAM} > \widehat {BDM}\)
Hay \(\widehat {BAM} > \widehat {CAM}\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Lấy điểm E trên đoạn BC, lấy điểm F trên đoạn BC kéo dài, điểm D trên AC kéo dài về phía C. Nối AE, AF, BD. Chứng minh:
a. AB < AE
b. AB < AF
c. BD > BC
Câu 2: Cho \(\Delta ABC\) có 3 cạnh thoả mãn hệ thức AC > CB > BA. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat A\). Chứng minh IB < IA < IC.
Câu 3: Cho \(\Delta ABC\)(AC > AB), M là trung điểm của BC. Trên AB và AC lấy 2 điểm P và N sao cho BP = CN. Chứng minh: \(\widehat {APN} = \widehat {ANP}\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat C > \widehat B\) (góc B, góc C đều là góc nhọn). Vẽ phân giác AD. So sánh BD và CD
A. Chưa đủ điều kiện để so sánh
B. BD = CD
C. BD < CD
D. BD > CD
Câu 2: Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F. Chọn câu đúng.
A. BF > EF
B. EF < BC
C. BF < BC
D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 3: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên toa đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. So sánh góc CDA và góc CAD?
A. \(\widehat {CA{\rm{D}}} > \widehat {CDA}\)
B. \(\widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {CDA}\)
C. \(\widehat {CA{\rm{D}}} < \widehat {CDA}\)
D. \(\widehat {CA{\rm{D}}} = 2. \widehat {CDA}\)
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB + AC = 10cm, AC – AB = 4cm. So sánh góc B và góc C
A. \(\widehat C < \widehat B\)
B. \(\widehat C > \widehat B\)
C. \(\widehat C = \widehat B\)
D. \(\widehat C = 2. \widehat B\)
Câu 5: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {80^0},\widehat B – \widehat C = {20^0}\). Em hãy chọn câu trả lời đúng nhất:
A. AC < AB < BC
B. AB < AC < BC
C. BC < AC < AB
D. AC < BC < AB
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Nắm được mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
- Áp dụng để giải những bài toán liên quan.