1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Đa thức một biến
- Đa thức một biến là tổng của các đơn thức của cùng một biến.
Ví dụ 1: Đa thức \(5x^5 + 4x^3 – 2x^2 + x\) là đa thức một biến (biến x).
Chú ý:
- Mỗi số cũng có thể coi là một đa thức của một biến nào đó.
- Sau khi thu gọn đa thức ta thường sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần hoặc tăng dần của biến.
Ví dụ 2: Đối với đa thức \(P(x) = 6x + 3 – 6x^2 + x^3 + 2x^4\)
- Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:
\(P(x) = 2x^4 + x^3 – 6x^2 + 6x + 3\)
- Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:
\(P(x) = 3 + 6x – 6x^2 + x^3 + 2x^4\)
1.2. Bậc của đa thức một biến
Bậc của đa thức một biến khác đa thức không (đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến có trong đa thức đó.
Ví dụ 3: Đa thức \(5x^5 + 4x^3 – 2x^2 + x\) có bậc 5.
Ví dụ 4: Cho đa thức sau: \(5x^7 – 7x^6 + 5x^5 – 4x^4 + 7x^6 – 3x^2 + 1 – 5x^7 – 3x^5\)
Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?
Thu gọn đa thức ta được:
\(\begin{array}{l}
5{x^7} – 7{x^6} + 5{x^5} – 4{x^4} + 7{x^6} – 3{x^2} + 1 – 5{x^7} – 3{x^5}\\
= \left( {5{x^7} – 5{x^7}} \right) + \left( { – 7{x^6} + 7{x^6}} \right) + \left( {5{x^5} – 3{x^5}} \right) – 4{x^4} – 3{x^2} + 1\\
= 2{x^5} – 4{x^4} – 3{x^2} + 1
\end{array}\)
Đa thức đã cho có bậc là 5.
Chú ý: Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.
1.3. Hệ số, giá trị của một đa thức
a) Hệ số của đa thức:
- Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất.
- Hệ số tự do là số hạng không chứa biến.
Ví dụ 5: Đa thức \(5x^5 + 4x^3 – 2x^2 + x\) có:
- Hệ số cao nhất là 5.
- Hệ số tự do là 0.
b) Giá trị của đa thức f(x) tại x=a được kí hiệu là f(a).
Ví dụ 6: Giá trị của đa thức \(f(x) =5x^5 + 4x^3 – 2x^2 + x\) tại \(x=1\) là \(f(1) =5.1^5 + 4.1^3 – 2.1^2 + 1\)
2. Bài tập minh hoạ
Câu 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến:
a) \(2{x^3} – {x^5} + 3{x^4} + {x^2} – \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} – 2{x^2} – {x^4} + 1\).
b) \({x^7} – 3{x^4} + 2{x^3} – {x^2} – {x^4} – x + {x^7} – {x^3} + 5\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\begin{array}{l}2{x^3} – {x^5} + 3{x^4} + {x^2} – \frac{1}{2}{x^3} + 3{x^5} – 2{x^2} – {x^4} + 1\\ = (2{x^3} – \frac{1}{2}{x^3}) + ( – {x^5} + 3{x^5}) + (3{x^4} – {x^4}) + ({x^2} – 2{x^2}) + 1\\ = \frac{2}{3}{x^3} + 2{x^5} + 2{x^4} – {x^2} + 1\\ = 2{x^5} + 2{x^4} + \frac{2}{3}{x^3} – {x^2} + 1\end{array}\).
b)
\(\begin{array}{l}{x^7} – 3{x^4} + 2{x^3} – {x^2} – {x^4} – x + {x^7} – {x^3} + 5\\ = ({x^7} + {x^7}) + ( – 3{x^4} – {x^4}) + (2{x^3} – {x^3}) + ( – {x^2}) + 5\\ = 2{x^7} – 4{x^4} + {x^3} – {x^2} – x + 5\end{array}\).
Câu 2: Tính giá trị của các đa thức:
a) \(x + {x^2} + {x^3} + … + {x^{99}} + {x^{100}}\) tại x=-1.
b) \({x^2} + {x^4} + {x^6} + …. + {x^{98}} + {x^{100}}\) tại x=-1.
Hướng dẫn giải
a) Thay x=-1 vào ta được:
\(\begin{array}{l}x + {x^2} + {x^3} + … + {x^{99}} + {x^{100}}\\ = ( – 1) + {( – 1)^2} + {( – 1)^3} + … + {( – 1)^{99}} + {( – 1)^{100}}\\ = – 1 + 1 – 1 + … – 1 + 1 = 0\end{array}\).
b) Thay x=-1 vào ta được:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {x^4} + {x^6}+ …. + {x^{98}} + {x^{100}}\\ = {( – 1)^2} + {( – 1)^4} + {( – 1)^6} + …. + {( – 1)^{98}} + {( – 1)^{100}}\\ = \underbrace {1 + 1 + …… + 1}_{50\,\,số\,\,\,hạng} = 50\end{array}\).
Câu 3: Cho đa thức sau:
\(5{x^7} – 7{x^6} + 5{x^5} – 4{x^4} + 7{x^6} – 3{x^2} + 1 – 5{x^7} – 3{x^5}\)
Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Thu gọn đa thức đã cho ta được:
\(\begin{array}{l}5{x^7} – 7{x^6} + 5{x^5} – 4{x^4} + 7{x^6} – 3{x^2} + 1 – 5{x^7} – 3{x^5}\\ = (5{x^7} – 5{x^7}) + ( – 7{x^6} + 7{x^6}) + (5{x^5} – 3{x^5}) – 4{x^4} – 3{x^2} + 1\\ = 2{x^5} – 4{x^4} – 3{x^2} + 1\end{array}\).
Đa thức có bậc là 5.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Cho \(P(x) = – 3{x^2} + 7x + 12 – 28{x^4}\) và \(Q(x) = 13{x^2} + 22{x^3} + 15{x^4} + 3x.\). Tính \(P(x) + Q(x)\) và \(P(x) – Q(x)\).
Câu 2: Cho đa thức: \(f = 2x – {x^2} + 2.|x + 1|\)
a) Thu gọn đa thức f.
b) Tính giá trị của f khi \(x = – \dfrac{3}{2}\).
Câu 3: Cho P(x) là một đa thức bậc 4 sao cho P(1)=P(-1) và P(2)=P(-2). Chứng minh rằng \(P(x)=P(-x)\) với mọi \(x \in Q.\)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho đa thức A = x4 – 4x3 + x -3x2 + 1. Tính giá trị của A tại x = -2
A. A = -35
B. A = 53
C. A = 33
D. A = 35
Câu 2: Cho hai đa thức f(x) = x5 + 2; g(x) = 5x3 – 4x + 2. So sánh f(0) và g(1)
A. f(0) = g(1)
B. f(0) > g(1)
C. f(0) < g(1)
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 3: Cho hai đa thức f(x) = x5 + 2; g(x) = 5x3 – 4x + 2. Chọn câu đúng về f(-2) và g(-2)
A. f(-2) = g(-2)
B. f(-2) = 3.g(-2)
C. f(-2) > g(-2)
D. f(-2) < g(-2)
Câu 4: Với a, b, c là các hằng số, hệ số tự do của đa thức x2 + (a + b)x – 5a +3b +2 là
A. 5a + 3b +2
B. -5a + 3b +2
C. 2
D. 3b + 2
Câu 5: Hệ số cao nhất của đa thức 5x6 + 6x5 +x4 – 3x2 + 7 là:
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Khái niệm đa thức một biến.
- Biết tính bậc của đa thức một biến
- Xác định được hệ số, giá trị của một đa thức.