1. Tóm tắt lý thuyết
Nếu tại \(x=a\) đa thức \(P(x)\) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.
Ví dụ 1: Trong các số \(-1; 1; 2\) số nào là nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} – 3x + 2\)?
Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} – 3x + 2\)
- Với \(x=-1\) thì \(f\left( { – 1} \right) = {( – 1)^2} – 3.( – 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x).
- Với \(x=1\) thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} – 3.1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x).
- Với \(x=2\) thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} – 3.2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x)
Nhận xét:
- Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,…hoặc không có nghiệm nào.
- Người ta chứng minh được rằng số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt quá bậc của nó.
2. Bài tập minh hoạ
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức \(P(x) = 2y + 6\)
Hướng dẫn giải
Từ \(2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y =\dfrac{-6}{2} = -3\)
Vậy nghiệm của đa thức \(P(x)\) là \(-3\).
Câu 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.
a) \(P(x) = {x^2} + 1\)
b) \(Q(x) = (2{y^4} + 5)\)
Hướng dẫn giải
a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:
\(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm.
b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:
\(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm.
Câu 3:
a) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} – 6x – 2.\)
b) Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a – b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)
Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} – 6x – 2\) có một nghiệm x = 1.
b) Ta có: \(f( – 1) = a.{( – 1)^2} + b.( – 1) + c = a – b + c = 0\)
Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Ta thấy \(7 – (11) + 4 = 0,\) nên:
\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức:
a) \({x^2} – 2003x – 2004 = 0\).
b) \(2005{x^2} – 2004x – 1 = 0\).
Câu 2: Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)
Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.
Câu 3: Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n – 1}}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},…,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Số nghiệm của đa thức x3 + 27 là
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Câu 2:Tích các nghiệm của đa thức 5x2 – 10x là
A. -22
B. 2
C. 0
D. 4
Câu 3: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx +c. Chọn câu đúng?
A. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = 1
B. Nếu a – b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiêm x = -1
C. Cả A và B đều đúng
D. Cả A và B đều sai
Câu 4: Cho đa thức sau f(x) = x2 + 5x – 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:
A. 2 và 3
B. 1 và -6
C. -3 và -6
D. -3 và 8
Câu 5: Tổng các nghiệm của đa thức x2 – 16 là
A. -16
B. 8
C. 4
D. 0
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Nắm được khái niệm nghiệm của đa thức một biến.
- Biết cách tìm nghiệm của đa thức một biến.