Lý thuyết Bài tập cuối chương 3 – KNTT

a) Giá trị lượng giác của một góc

Ta có các công thức sau:

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }}(\alpha  \ne {90^0});\cot \alpha  = \frac{{cos\alpha }}{{\sin \alpha }}(\alpha  \ne {0^0}\) và \(\alpha  \ne {180^0});\)

\(\tan \alpha  = \frac{1}{{\cot \alpha }}\left( {\alpha  \notin \left\{ {{0^0};{{90}^0};{{180}^0}} \right\}} \right)\)

Sau đây là bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ.

Đối với hai góc bù nhau, \(\alpha \) và \({{{180}^0} – \alpha }\), ta có:

\(\begin{array}{l}
*\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;*cos\left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – cos\alpha \\
*\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \tan \left( {x \ne {{90}^0}} \right);\;\;\;\;\;\;\;\;\;*\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) =  – \cot \alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0}} \right)
\end{array}\)

a) Định lí Côsin

Trong tam giác ABC:

\(\begin{array}{l}
{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A,\\
{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B,\\
{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab\cos C.
\end{array}\)

b) Định lí Sin

Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

c) Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng các định li côsin, sin và sử dụng máy tính cằm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

• Biết hai cạnh và góc xen giữa;
• Biết ba cạnh;
• Biết một cạnh và hai góc kề.

d) Công thức tính diện tích tam giác

\(\begin{array}{l}
*S = pr = \frac{{\left( {a + b + c} \right)r}}{2}\\
*S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}casinB = \frac{1}{2}ab\sin C\\
*S = \frac{{abc}}{{4R}}\\
*\sqrt {p\left( {p – a} \right)\left( {p – b} \right)\left( {p – c} \right)} 
\end{array}\)

Câu 1: Cho tam giác \(ABC\) biết các cạnh \(a = 52, 1cm\); \(b = 85cm\) và \(c = 54cm\). Tính các góc \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.cosA.\)

Ta suy ra \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(= \dfrac{85^{2}+54^{2}-(52,1)^{2}}{2.85.54}\)

\(\Rightarrow \cos A  ≈ 0,809  \Rightarrow \widehat{A}≈ 36^0\) 

\(\begin{array}{l}
{b^2} = {c^2} + {a^2} – 2ca\cos B\\
\Rightarrow \cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{2ca}}\\
= \frac{{{{54}^2} + 52,{1^2} – {{85}^2}}}{{2.54.52,1}} \approx – 0,2834
\end{array}\)

\(\Rightarrow  \widehat{B}≈  106^0 28’\) ;

\(\widehat{C} = {180^0} – \left( {A + B} \right) \) \(\approx {180^0} – \left( {{{36}^0} + {{106}^0}28′} \right)≈  37^032’\).

Câu 2: Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)

Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} – \widehat B – \widehat C = {180^o} – {30^o} – {45^o} = {105^o}\)

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)

Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).

Câu 3:

a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}\)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.

Hướng dẫn giải

a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))

Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\)

Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\)

Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\)của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.