■Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm – CD

Hàm số \(y={{x}^{n}}(n\in N,n>1)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{x}^{n}})’ =n{{x}^{n-1}}\).

Nhận xét: Bằng định nghĩa, ta chứng minh được:

– Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: (c)’ = 0 với c là hằng số.

– Đạo hàm của hàm số y = x bằng 1: (x)’ = 1.

 

Hàm số \(y=\sqrt x\) có đạo hàm tại mọi  \(x \in R, x>0\) và \((\sqrt x)’={1 \over {2 \sqrt x}}\).

 

– Hàm số \(y = sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \((sinx)’ = cosx\).  – Hàm số \(y = cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \((cosx)’ = – sinx\).  – Hàm số \(y = tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\) và \((\tan x)’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\).  – Hàm số \(y = cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x\ne k\pi ,k\in Z\) và \((\cot x)’=\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\).

– Hàm số \(y = {{e}^{x}}\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{e}^{x}})’ ={{e}^{x}}\).  – Hàm số \(y = {{e}^{x}}\) \((a > 0, a \ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in R\) và \(({{a}^{x}})’ ={{e}^{x}}lna\).

 

e. Đạo hàm của hàm số lôgarit

– Hàm số \(y = ln x\) có đạo hàm tại mọi x dương và \((lnx)’ = {{1}^{x}}\)  – Hàm số \(y = {log_a}x\) \((a>0, a \ne 1)\) có đạo hàm tại mọi x dương và \(({log_a}x)’=1 \over xlna\).

 

Định lí

Giả sử \(f = f(x), g = g(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.  Ta có: \((f+g)’=f’+g’\) \((fg)’= f’g+fg’\) \((f-g)’=f’-g’\) \(\left( \frac{f}{g} \right)’=\frac{f’g-fg’}{{{g}^{2}}}(g=g(x)\ne 0)\)

Hệ quả: Cho \(f = f(x)\) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.

– Nếu c là một hằng số thì \((cf)’ = cf’\).

– \(\left( \frac{1}{f} \right)’=-\frac{f’}{{{f}^{2}}}(f=f(x)\ne 0)\).

 

Giả sử hàm số \(u = g(x)\) xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên (c ; d); \(y = f(u)\) là hàm số của u, xác định trên (c ; d) và lấy giá trị trên R. Khi đó, ta có thể lập được một hàm số mới xác định trên (a ; b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc như hình dưới.

 

 

Hàm số \(y = f(g(x))\) được gọi là hàm hợp của hai hàm số \(y=f(u), u=g(x)\).

 

Quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số \(u = g(x)\) có đạo hàm tại x là \({u’_x}\) và hàm số \(y = f(u)\) có đạo hàm tại u là \({y’_u}\) thì hàm hợp \(y = f(g(x))\) có đạo hàm tại x là ({y’_x}={y’_u}.{u’_x}\).

 

Nhận xét: Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp:

Bài 1. Tính các đạo hàm của các hàm số sau?

a) y = –x³ + 3x + 1

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x)

c) \(y = {x^2}\sqrt x \)

d) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}\)

e) \(y = \frac{{2{x^2} – 4x + 1}}{{x – 3}}\)

 

Hướng dẫn giải

a) y’ = (–x³ + 3x + 1)’ = –3x² + 3

b) y = (2x – 3)(x⁵ – 2x).

y’ = [(2x – 3)(x⁵ – 2x)]’

= (2x – 3)’.(x⁵ – 2x) + (x⁵ – 2x)’.(2x – 3)

= 2(x⁵ – 2x) + (5x⁴ – 2)(2x – 3)

= 12x⁵ – 15x⁴ – 8x + 6.

c) 

\(\begin{array}{l} y = {x^2}\sqrt x \\ y’ = {\left( {{x^2}\sqrt x } \right)’}\\ = {\left( {{x^2}} \right)’}.\sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)’}.{x^2}\\ = 2x.\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}.{x^2}\\ = 2x\sqrt x + \frac{1}{2}x\sqrt x \\ = \frac{{5x\sqrt x }}{2} \end{array}\)

d) 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}\\
 \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{{2x + 1}}{{1 – 3x}}} \right)’}\\
 = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}’}\left( {1 – 3x} \right) – {{\left( {1 – 3x} \right)}’}\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{2\left( {1 – 3x} \right) + 3\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {1 – 3x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

e) 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{2{x^2} – 4x + 1}}{{x – 3}}\\
 \Rightarrow y’ = \frac{{{{\left( {2{x^2} – 4x + 1} \right)}’}\left( {x – 3} \right) – {{\left( {x – 3} \right)}’}\left( {2{x^2} – 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{\left( {4x – 4} \right)\left( {x – 3} \right) – \left( {2{x^2} – 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} – 12x + 11}}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}
\end{array}\)

 

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau?

a) y = (x⁷ + x)²

b) y = (1 – 2x²)³

 

Hướng dẫn giải

a) y = (x⁷ + x)². Sử dụng công thức (u^α)′=α.u^α−1.u’  (với u = x⁷ + x)

y’ = 2(x⁷ + x).(x⁷ + x)’ = 2(x⁷ + x)(7x⁶ + 1).

b) y = (1 – 2x²)³. Sử dụng công thức (uα)’ với u = 1 – 2x²

y’ = 3(1 – 2x²)².(1 – 2x²)’ = 3(1 – 2x²)²(– 4x) = – 12x(1 – 2x²)².