■Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit – CD

– PhÆ°Æ¡ng trình mÅ© là phÆ°Æ¡ng trình có chứa ẩn ở số mÅ© của luỹ thừa.  – PhÆ°Æ¡ng trình mÅ© cÆ¡ bản ẩn x có dạng ax = b \((a > 0, a  \ne 1)\).   + Nếu b ≤ 0 thì phÆ°Æ¡ng trình vô nghiệm.   + Nếu b > 0 thì phÆ°Æ¡ng trình có nghiệm duy nhất x = logab.

Nhận xét: Với \((a > 0, a  \ne 1, b>0)\) thì \({{a}^{f(x)}}=b\Leftrightarrow f\left( x \right)=lo{{g}_{a}}b\).

 

Chú ý:

– Với \((a > 0, a  \ne 1)\) thì \({{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)\)

– Cách giải phÆ°Æ¡ng trình mÅ© nhÆ° trên thường được gọi là phÆ°Æ¡ng pháp đưa về cùng cÆ¡ số.

 

– PhÆ°Æ¡ng trình lôgarit là phÆ°Æ¡ng trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.  – PhÆ°Æ¡ng trình lôgarit cÆ¡ bản có dạng logax = b \((a > 0, a  \ne 1)\).  – PhÆ°Æ¡ng trình đó có một nghiệm là \(x = {{a}^{b}}\).

Nhận xét: Với \((a > 0, a  \ne 1)\) thì log, \(lo{{g}_{a}}f(x)=b \Leftrightarrow f(x)={{a}^{b}}\).

 

Khái niệm

– Bất phÆ°Æ¡ng trình mÅ© là bất phÆ°Æ¡ng trình có chứa ẩn ở số mÅ© của luỹ thừa.  – Bất phÆ°Æ¡ng trình mÅ© cÆ¡ bản là bất phÆ°Æ¡ng trình mÅ© có một trong những dạng sau: \({{a}^{x}}>b;{{a}^{x}}0,a\ne 1)\);{{a}^{x}}\ge>

 

Cách giải bất phương trình mũ cơ bản

Xét bất phÆ°Æ¡ng trình mÅ©: \({{a}^{x}}>b\) \((a>0,a\ne 1)\).

– Nếu \(b \le 0\), tập nghiệm của bất phÆ°Æ¡ng trình đã cho là R (vì \({{a}^{x}}>0 \ge b\), \(\forall x\in R\)).

– Nếu \(b > 0\) thì bất phÆ°Æ¡ng trình tÆ°Æ¡ng đương với \({{a}^{x}}>{{a}^{lo{{g}_{a}}b}}\)

 + Với a > 1, nghiệm của bất phÆ°Æ¡ng trình là \(x > {lo{{g}_{a}}b}\)

 + Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phÆ°Æ¡ng trình là 

Nhận xét: Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

 

Khái niệm

– Bất phÆ°Æ¡ng trình lôgarit là bất phÆ°Æ¡ng trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.  – Bất phÆ°Æ¡ng trình lôgarit cÆ¡ bản là bất phÆ°Æ¡ng trình lôgarit có một trong những dạng sau: \({{\log }_{a}}x>b;{{\log }_{a}}x0,a\ne 1)\);{{\log>

 

Cách giải bất phương trình lôgarit cơ bản

Xét bất phÆ°Æ¡ng trình \({{\log }_{a}}x>b\) \((a>0,a\ne 1)\). Bất phÆ°Æ¡ng trình tÆ°Æ¡ng đương với \({{\log }_{a}}x > {{\log }_{a}}{{a}^{b}}\).

– Với \(a > 1\), nghiệm của bất phÆ°Æ¡ng trình là \(x > {{a}^{b}}\)

– Với \(0 < a < 1\), nghiệm của bất phÆ°Æ¡ng trình là \(0< x < {{a}^{b}}\)

Nhận xét: Các bất phÆ°Æ¡ng trình lôgarit cÆ¡ bản còn lại được giải tÆ°Æ¡ng tá»±.

Bài 1. Giải bất phÆ°Æ¡ng trình sau: \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5.\)

 

Hướng dẫn giải

\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le 2 – {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\)

\(\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – \frac{3}{4}} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – x – \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le – 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm bất phÆ°Æ¡ng trình là \(S = \left( { – \infty ; – 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

 

Bài 2. Giải bất phÆ°Æ¡ng trình sau: \({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0\).

 

Hướng dẫn giải

\({{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} – {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\) \(\Leftrightarrow 3.{\left( {{3^x}} \right)^2} – {10.3^x} + 3 \le 0\)(1)

Đặt \(t = {3^x} > 0\).

Ta có: (1) \(\Leftrightarrow 3{t^2} – 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ – 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow – 1 \le x \le 1\)

Vậy bất phÆ°Æ¡ng trình có nghiệm: \(S = \left[ { – 1;1} \right].\)