■Bài 1: Đạo hàm - CTST

LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1.1. Đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in$ (a; b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\]

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f'(x0) (hoặc y'(x0)).

Vậy:

\[f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}.\]

Chú ý 1: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b). Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm x $\in$ (a, b) thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng (a; b), kí hiệu y’ hoặc f'(x).

Chú ý 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có đạo hàm tại $x_0\in$ (a; b).

+) Đại lượng $\Delta x = x – {x_0}$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $\Delta y = f({x}) – f({x_0})$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $ x={x_0} + \Delta x$ và

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} .$

+) Tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng tử $x_0$ đến $x_0+ \Delta x$; còn f'($x_0$) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng $x$ tại điểm $x_0$.

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Nếu hàm số s = f(t) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian ở thị f'($t_0$) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

• Nếu hàm số T = f(t) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'($t_0$) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.

1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại $x_0\in$ (a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của (C) tại điểm M ($x_0$; f($x_0$))).

Tiếp tuyển M₀T có phương trình là $y = f'({x_0}).(x – {x_0}) + {y_0}$.

1.3. Số e

Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = e\]

Hơn nữa, người ta còn biết rằng e là số vô tỉ và e=2,718281828… (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).

Số e xuất hiện trong nhiều bài toán ở những lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lí, Sinh học, Kinh tế, ….

===========

VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = 2x² + x + 1 tại x₀ = 2.

b) $y = \sqrt{2 x + 1}$ tại x₀ = 1.

c) $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại x₀ = 3.

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Với $Δ x$ là số gia của đối số x₀ = 2.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$

$= 2 {(2 + Δ x)}^{2} + (2 + Δ x) + 1 - ({2.2}^{2} + 2 + 1)$

$= 8 + 8 Δ x + 2 {(Δ x)}^{2} + 2 + Δ x + 1 - 11$

$9 Δ x + 2 {(Δ x)}^{2}$ $= Δ x (9 + 2 Δ x)$

Ta có $f ‘ (2) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ $= \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x (9 + 2 Δ x)}{Δ x}$ $= \lim_{Δ x \to 0} (9 + 2 Δ x) = 9$ .

b) Cách 1: Với $Δ x$ là số gia của đối số x₀ = 1.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ $= f (1 + Δ x) - f (1)$

$= \sqrt{2 (1 + Δ x) + 1} - \sqrt{3}$ $= \frac{2 Δ x}{\sqrt{3 + 2 Δ x} + \sqrt{3}}$

Ta có $f ‘ (1) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 Δ x}{Δ x (\sqrt{3 + 2 Δ x} + \sqrt{3})}$ $= \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3 + 2 Δ x} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

c) Với $Δ x$ là số gia của đối số x₀ = 3.

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

$Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = f (3 + Δ x) - f (3)$

$= \frac{2 (3 + Δ x) - 1}{3 + Δ x + 1} - \frac{5}{4}$ $= \frac{5 + 2 Δ x}{4 + Δ x} - \frac{5}{4}$ $= \frac{3 Δ x}{4 (4 + Δ x)}$

Ta có $f ‘ (3) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ $= \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)}$ $= \lim_{Δ x \to 0} \frac{3}{4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{16}$ .

================= HOCZ.NET ============

LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1.1. Đạo hàm

1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1.3. Số e

VÍ DỤ MINH HỌA

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy