■Bài 14: Phép chiếu song song

LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1.1. Phép chiếu song song

– Cho mặt phẳng (\(\alpha\)) và đường thẳng \(\Delta\) cắt (\(\alpha\)). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:

+ Nếu M \(\in \Delta\) thì M’ là giao điểm của (\(\alpha\)) và A.

+ Nếu M \(\notin \Delta\) thì M’ là giao điểm của (\(\alpha\)) và đường thẳng qua M song song với \(\Delta\).

– Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (\(\alpha\)) theo phương \(\Delta\). Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với hình chiếu M’ của nó được gọi là phép chiếu song song lên (\(\alpha\)) theo phương \(\Delta\).

– Mặt phẳng (\(\alpha\)) được gọi là mặt phẳng chiếu, phương \(\Delta\) được gọi là phương chiếu.

– Cho hình \(\mathcal{H}\). Tập hợp \(\mathcal{H}’\) các hình chiếu M’ của các điểm M thuộc \(\mathcal{H}\) qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của \(\mathcal{H}\) qua phép chiếu song song đó.

Chú ý: Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, nếu không nói gì thêm ta chỉ xét các phép chiếu mà phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

1.2. Tính chất của phép chiếu song song

– Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

– Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

– Phép chiếu song song giữ nguyên tì số độ dài của hai đoạn thẳng cũng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

1.3. Hình biểu diễn của một hình không gian

– Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì hình biểu diễn của hình phẳng đó có các tính chất sau:

– Hình biểu diễn của một tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác;

– Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành;

– Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A’B’C’D’ với A’B’ // C’D’ thoả mãn \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{A’B’}}{{C’D’}}\);

– Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip.

===========

VÍ DỤ MINH HỌA

Bài toán: VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH \(\left( H \right)\) CHO TRƯỚC

– Phương pháp: Để vẽ hình biểu diễn của hình \(\left( H \right)\) ta cần xác định các yếu tố bất biến có trong hình \(\left( H \right)\).

– Xác định các yếu tố song song.

– Xác định tỉ số điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).

– Trong hình \(\left( {H’} \right)\) phải đảm bảo tính song song và tỉ số của điểm \(M\) chia đoạn \(AB\).

Ví dụ 1:

Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không?

Hướng dẫn giải:

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song (tính song song không được bảo toàn).

Ví dụ 2:

Vẽ hình biểu diễn của tứ diện \(ABCD\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương chiếu \(AB\), (\(AB\) không song song với \(\left( P \right)\)).

Hướng dẫn giải:

Vì phương chiếu \(l\) là đường thẳng \(AB\) nên hình chiếu của \(A\) và \(B\) chính là giao điểm của \(AB\) và \(\left( P \right)\).

Do đó \(AB \cap \left( P \right) = A’ \equiv B’\)

Các đường thẳng lần lượt đi qua \(C,D\) song song với \(AB\) cắt \(\left( P \right)\) tại \(C’,D’\)

thì \(C’,D’\) chính là hình chiếu của \(C,D\) lên \(\left( P \right)\) theo phương \(AB\).

Vậy hình chiếu của tứ diện \(ABCD\) là tam giác \(A’C’D’\).

================= HOCZ.NET ============