Chứng minh rằng:
a) \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 27
Phương pháp giải
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}\) với \(0 \le k \le n\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có
\(\begin{array}{l}
kC_n^k = k.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{k.n!}}{{k.\left( {k – 1} \right)!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{n.\left( {n – 1} \right)!}}{{\left( {k – 1} \right)!.\left( {\left( {n – 1} \right) – \left( {k – 1} \right)} \right)!}}\\
= nC_{n – 1}^{k – 1}
\end{array}\)
Vậy \(kC_n^k = nC_{n – 1}^{k – 1}\) với 1 ≤ k ≤ n.
b) Ta có
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}.\frac{{n!}}{{k!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {n – k} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right).n!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) – \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!.\left( {\left( {n + 1} \right) – \left( {k + 1} \right)} \right)!}}\\
= \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}
\end{array}\)
Vậy \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với 0 ≤ k ≤ n.
— *****
Trả lời