Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = – 1 + 2t\end{array} \right.\) và điểm A(2 ; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.
a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = \(\sqrt {17} \)
b) Tìm toạ độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 31
Phương pháp giải
Bước 1: Tham số hóa điểm M và N theo PT tham số ∆
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách để lập biểu thức độ dài AM và AN
Bước 3: Giải PT để tìm tọa độ điểm M và đánh giá biểu thức độ dài AN để tìm điểm N thỏa mãn giả thiết
Lời giải chi tiết
Do \(M,N \in \Delta \) nên \(M(4 + t; – 1 + 2t)\) và \(N(4 + k; – 1 + 2k)\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {AM} = (t + 2;2t – 2)\)
Theo giả thiết, AM = \(\sqrt {17} \) \( \Rightarrow A{M^2} = 17 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {(2t – 2)^2} = 17\)\( \Leftrightarrow 5{t^2} – 4t – 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = \frac{9}{5}\end{array} \right.\)
Với t = -1 thì \(M(3; – 3)\)
Với \(t = \frac{9}{5}\) thì \(M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là \(M(3; – 3)\) và \(M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AN} = (k + 2;2k – 2)\)
\(AN = \sqrt {{{\left( {k + 2} \right)}^2} + {{(2k – 2)}^2}} \)\( \Leftrightarrow A{N^2} = {\left( {k + 2} \right)^2} + {(2k – 2)^2} \Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} – 4k + 8\)
AN nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} – 4k + 8\) nhỏ nhất
Ta có: \(5{k^2} – 4k + 8 = 5{\left( {k – \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{44}}{5}\)\( \Rightarrow A{N^2} \ge \frac{{44}}{5} \Rightarrow AN \ge \frac{{2\sqrt {55} }}{5}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(k = \frac{2}{5}\) \( \Rightarrow N\left( {\frac{{22}}{5}; – \frac{1}{5}} \right)\)
— *****
Trả lời