Giải bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

+) Từ câu a  câu d xác định bán kính của (C) rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc

+) Xét câu e

Bước 1: Tham số hóa tọa độ tâm I

Bước 2: Lập PT từ giả thiết: \(d(I,{\Delta _2}) = d(I,{\Delta _3})\)

Bước 3: Giải PT tìm được ở bước 2 để tìm tọa độ tâm I và bán kính đường tròn rồi viết PT đường tròn dạng chính tắc

Lời giải chi tiết

a) (C) có tâm I(−6 ; 2) bán kính 7 nên có PT: \({(x + 6)^2} + {(y – 2)^2} = 49\)

b) (C) có tâm I(3 ; – 7) và đi qua điểm A(4 ; 1) \( \Rightarrow \) Bán kính của (C) là \(IA = \sqrt {{{(4 – 3)}^2} + {{(1 + 7)}^2}}  = \sqrt {65} \)

\( \Rightarrow \)(C) có PT: \({(x – 3)^2} + {(y + 7)^2} = 65\)

c) (C) có tâm I(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0

\( \Rightarrow \) Bán kính của (C) là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆: 3x + 4y + 19 = 0

Ta có: \(d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.1 + 4.2 + 19} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{30}}{5} = 6\)

\( \Rightarrow \)(C) có PT: \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 36\)

d) (C) có đường kính AB với A(−2 ; 3) và B(0 ; 1)

\( \Rightarrow \) (C) có tâm I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I( – 1;2)\)

(C) có bán kính IA = IB = \(\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \)(C) có PT: \({(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 2\)

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 – t\end{array} \right.\) và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆₂: 3x + 4y – 1 = 0, ∆₃: 3x – 4y + 2 = 0

Do \(I \in {\Delta _1}\) nên \(I(1 + t;1 – t)\)

Theo giả thiết, \(R = d(I,{\Delta _2}) = d(I,{\Delta _3}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3(1 + t) + 4(1 – t) – 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {3(1 + t) – 4(1 – t) + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( – 4)}^2}} }}\)

                                                        \( \Leftrightarrow \left| {6 – t} \right| = \left| {7t + 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 – t = 7t + 1\\6 – t =  – 7t – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{5}{8}\\t = \frac{{ – 7}}{6}\end{array} \right.\) 

Với \(t = \frac{5}{8} \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{8};\frac{3}{8}} \right)\) \( \Rightarrow \)\(R = \frac{{43}}{{40}}\). Khi đó (C) có PT: \({\left( {x – \frac{{13}}{8}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{3}{8}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{1600}}\)

Với \(t =  – \frac{7}{6} \Rightarrow I\left( { – \frac{1}{6};\frac{{13}}{6}} \right)\)\( \Rightarrow \)\(R = \frac{{43}}{{30}}\). Khi đó (C) có PT: \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y – \frac{{13}}{6}} \right)^2} = \frac{{1849}}{{900}}\)

— *****