Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} \)
với k là số thực. Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {EN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \) và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 55
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định vị trí các điểm D, E, M, N trên các cạnh AB, AC, BC, AM
Bước 2: Sử dụng các quy tắc để biểu diễn các vectơ theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
Bước 3: Sử dụng điều kiện \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DE} \) chứng minh D, E, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết D, E, M, N nằm giữa 2 đầu mút các cạnh tương ứng AB, AC, BC, AM
a) Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow a \); \(\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{5}\overrightarrow b \);
\(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{k}{3}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} – \overrightarrow {AD} = – \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \)
+ \(\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AE} = k\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right) – \frac{2}{5}\overrightarrow b = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{{5k – 6}}{{15}}\overrightarrow b \)
b) D, E, N thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DE} \) \( \Leftrightarrow \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \frac{{5k – 6}}{{15}}\overrightarrow b = t\left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} = – \frac{t}{3}\\\frac{{5k – 6}}{{15}} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}k + \frac{1}{3}t = 0\\\frac{1}{3}k – \frac{2}{5}t = \frac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t = – \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.\)
Vậy với \(k = \frac{6}{{17}}\) thì D, E, N thẳng hàng.
— *****
Trả lời