Giải bài 81 trang 99 SBT Toán 10 Cánh diều tập 2 – CD

Phương pháp giải

a) Tìm các VTPT của các đường thẳng AB, BC, AC rồi viết PTTQ

b) Tham số hóa tọa độ các điểm G, H, I (nếu cần)

 Bước 1: Tìm tọa độ trọng tâm G theo công thức \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Bước 2: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\) để tìm tọa độ trực tâm H

Bước 3: Giải hệ PT: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right.\) để tìm tọa độ tâm I

Bước 4: Tính khoảng cách từ A đến BC là chiều cao của ∆ABC

Bước 5: Tính độ dài BC rồi tính diện tích ∆ABC

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (6;6),\overrightarrow {BC}  = (0; – 9),\overrightarrow {AC}  = (6; – 3)\)

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; – 1)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {AB}  = 0\). Khi đó AB đi qua A(-3 ; -1) và nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; – 1)\) nên có PT:

x – y + 2 = 0

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;0)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {BC}  = 0\). Khi đó BC đi qua B(3 ; 5) và nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = (1;0)\) nên có PT: x – 3 = 0

+ Chọn \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {{n_3}} .\overrightarrow {AC}  = 0\). Khi đó AC đi qua C(3 ; -4) và nhận \(\overrightarrow {{n_3}}  = (1;2)\) nên có PT:

x + 2y + 5 = 0

b) Ta có:

+ G là trọng tâm ∆ABC nên \( \Rightarrow G(1;0)\)

+ Gọi \(H({x_H};{y_H})\) là trực tâm ∆ABC . Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = ({x_H} + 3;{y_H} + 1),\overrightarrow {BH}  = ({x_H} – 3;{y_H} – 5)\)

Khi đó\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 9({y_H} + 1) = 0\\6({x_H} – 3) – 3({y_H} – 5)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_H} + 1 = 0\\2{x_H} – {y_H} – 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = 0\\{y_H} =  – 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow H(0; – 1)\)

+ Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = {( – 3 – {x_I}; – 1 – {y_I})^2} \Rightarrow IA = \sqrt {{{({x_I} + 3)}^2} + {{({y_I} + 1)}^2}}  \Rightarrow I{A^2} = {({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2}\)

          \(\overrightarrow {IB}  = {(3 – {x_I};5 – {y_I})^2} \Rightarrow IB = \sqrt {{{({x_I} – 3)}^2} + {{({y_I} – 5)}^2}}  \Rightarrow I{B^2} = {({x_I} – 3)^2} + {({y_I} – 5)^2}\)

          \(\overrightarrow {IC}  = {(3 – {x_I}; – 4 – {y_I})^2} \Rightarrow IC = \sqrt {{{({x_I} – 3)}^2} + {{({y_I} + 4)}^2}}  \Rightarrow I{C^2} = {({x_I} – 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} – 3)^2} + {({y_I} – 5)^2}\\{({x_I} + 3)^2} + {({y_I} + 1)^2} = {({x_I} – 3)^2} + {({y_I} + 4)^2}\end{array} \right.\)

                         \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12{x_I} + 12{y_I} = 24\\12{x_I} – 6{y_I} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} + {y_I} = 2\\4{x_I} – 2{y_I} = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Vậy \(G(1;0),H(0; – 1),I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

c) Ta có: \(d(A,BC) = \frac{{\left| { – 3 – 3} \right|}}{1} = 6\)

\(\overrightarrow {BC}  = (0; – 9) \Rightarrow BC = 9\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{2}.6.9 = 27\)

— *****