Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1 ; −2), đường trung tuyến kẻ từ B và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0 và x + 3y − 5 = 0. Tìm toạ độ của hai điểm B và C.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 83
Phương pháp giải
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng AB (có VTPT là VTCP của CH)
Bước 2: Giải hệ 2 PT BM và AB để tìm tọa độ điểm B
Bước 3: Tham số hóa điểm M theo PT BM và biểu diễn tọa độ C theo tham số đó
Bước 4: Thay tọa độ tham số của điểm C vào PT CH rồi tìm tọa độ điểm C
Lời giải chi tiết
Gọi BM là đường trung tuyến kẻ từ B \( \Rightarrow BM\) có PT: 5x + y – 9 = 0
Gọi CH là đường cao kẻ từ C \( \Rightarrow CH\) có PT: x + 3y − 5 = 0
CH có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = (1;3)\) \( \Rightarrow CH\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = (3; – 1)\)
Ta có: \(CH \bot AB\) \( \Rightarrow AB\) đi qua A(−1 ; −2) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = (3; – 1)\) làm VTPT nên có PT:
3x – y + 1 = 0
Do B là giao điểm của BM và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:
\(\left\{ \begin{array}{l}5x + y – 9 = 0\\3x – y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow B(1;4)\)
Do \(M \in BM\) nên \(M(t;9 – 5t)\)
Theo giả thiết, M là trung điểm AC \( \Rightarrow C(2t + 1; – 10t + 20)\)
Do \(C \in CH\) nên \(2t + 1 + 3( – 10t + 20) – 5 = 0 \Leftrightarrow – 28t + 56 = 0 \Leftrightarrow t = 2\) \( \Leftrightarrow C(5;0)\)
Vậy \(B(1;4)\) và \(C(5;0)\)
— *****
Trả lời