Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB =c và diện tích là S. (Hình 24).
a) Từ định lí cosin, chứng tỏ rằng:
\(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) ở đó \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)
b) Bằng cách sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\),hãy chứng tỏ rằng: \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)
Phương pháp giải
Bước 1: Tính cos A theo a, b, c.
Bước 2: Tính sin A theo cos A.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.\cos A\)\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\)
Mà \(\sin A = \sqrt {1 – {{\cos }^2}A} \).
\( \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}}}{{{{(2bc)}^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}\sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)
Đặt \(M = \sqrt {{{(2bc)}^2} – {{({b^2} + {c^2} – {a^2})}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {(2bc + {b^2} + {c^2} – {a^2})(2bc – {b^2} – {c^2} + {a^2})} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {\left[ {{{(b + c)}^2} – {a^2}} \right].\left[ {{a^2} – {{(b – c)}^2}} \right]} \\ \Leftrightarrow M = \sqrt {(b + c – a)(b + c + a)(a – b + c)(a + b – c)} \end{array}\)
Ta có: \(a + b + c = 2p\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c – a = 2p – 2a = 2(p – a)\\a – b + c = 2p – 2b = 2(p – b)\\a + b – c = 2p – 2c = 2(p – c)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M = \sqrt {2(p – a).2p.2(p – b).2(p – c)} \\ \Leftrightarrow M = 4\sqrt {(p – a).p.(p – b).(p – c)} \\ \Rightarrow \sin A = \frac{1}{{2bc}}.4\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \\ \Leftrightarrow \sin A = \frac{2}{{bc}}.\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \end{array}\)
b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)
Mà \(\sin A = \frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \frac{1}{2}bc.\left( {\frac{2}{{bc}}\sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} } \right)\\ \Leftrightarrow S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} .\end{array}\)
Trả lời