Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, \(\widehat {BAC} = \alpha \). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O).
Cho α là góc nhọn. Chứng minh:
a) \(\widehat {BDC} = \alpha \);
b) \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R\).
Phương pháp giải
a) Đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.
b) Xét tam giác BDC, BD là đường kính của đường tròn (O)
Hướng dẫn giải
Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:
a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.
Do đó: \(\widehat {BDC} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Vậy \(\widehat {BDC} = \alpha \).
b) Xét tam giác BDC, ta có \(\widehat {BDC} = \alpha \).
Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên \(\widehat {BCD} = 90^\circ \).
Do đó: \(\sin \widehat {BDC} = \frac{{BC}}{{BD}}\), tức là \(\sin \alpha = \frac{a}{{2R}}\) hay \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R.\)