Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng a đi qua A. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng a. Chứng minh:
a) \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
b) CN = MA;
c) Nếu a song song với BC thì MA = AN.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 56
Phương pháp giải
– Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác để chứng minh \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
– Chứng minh: \(\Delta MAB = \Delta NCA\) suy ra MA = NC
– Chứng minh: Nếu a // BC suy ra MA = MB (1)
Nếu a // BC suy ra CN = AN (2)
Từ (1), (2) và câu a) suy ra MA = AN.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆MAB vuông tại M có: \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90o).
Ta có \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MAB} + \widehat {CAN} = 180^\circ – \widehat {BAC} = 90^\circ \)
Lại có \(\widehat {ABM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
Vậy \(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\)
b) Xét ∆MAB và ∆NCA có:
\(\widehat {BMA} = \widehat {ANC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A),
\(\widehat {ABM} = \widehat {CAN}\) (chứng minh câu a).
Do đó ∆MAB = ∆NCA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra MA = NC (hai cạnh tương ứng).
Vậy MA = NC.
c) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\)
Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của tam giác ABC)
Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \frac{{180^\circ – 90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
• Nếu a // BC thì \(\widehat {MAB} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).
Do đó \(\widehat {MAB} = 45^\circ \)
Xét ∆ABM có \(\widehat {AMB} + \widehat {MBA} + \widehat {MAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat {MBA} = 180^\circ – \widehat {AMB} – \widehat {MAB} = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) (cùng bằng 45°).
Xét ∆AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) và \(\widehat {MAB} = \widehat {MBA}\) nên ∆AMB vuông cân tại M.
Suy ra MA = MB (1)
• Nếu a // BC thì \(\widehat {CAN} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong)
Xét ∆ABM có \(\widehat {ACN} + \widehat {ANC} + \widehat {CAN} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Suy ra \(\widehat {ACN} = 180^\circ – \widehat {ANC} – \widehat {CAN} = 180^\circ – 90^\circ – 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) (cùng bằng 45°).
Xét ∆ANC có \(\widehat {ANC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACN} = \widehat {CAN}\) nên ∆ANC vuông cân tại N.
Suy ra CN = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA = AN.
Vậy MA = AN.
— *****
Trả lời