Tìm giá trị của tham số m để:
a) \(f\left( x \right) = \left( {2m – 8} \right){x^2} + 2mx + 1\) là một tam thức bậc hai
b) \(f\left( x \right) = \left( {2m + 3} \right){x^2} + 3x – 4{m^2}\) là một tam thức bậc hai có \(x = 3\) là một nghiệm
c) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + mx – 3\) dương tại \(x = 2\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
+ Nếu \(\Delta \) < 0 thi ƒ(x) cùng đấu với a với mọi giá trị x
+ Nếu \(\Delta \) = 0 và \({x_0} = – \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x khác x0.
+ Nếu \(\Delta \) > 0 và x1, x2 là hai nghiệm của \(f(x)\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong.
Lời giải chi tiết
a) f(x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(2m – 8 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 4\)
Vậy để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai thì \(m \ne 4\)
b) f(x) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(2m + 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne – \frac{3}{2}\)
Mặt khác, \(x = 3\) là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi \(f\left( 3 \right) = 0\)
hay \(f\left( 3 \right) = \left( {2m + 3} \right){.3^2} + 3.3 – 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow – 4{m^2} + 18m + 36 = 0\)
Suy ra \(m = – \frac{3}{2}\) hoặc \(m = 6\)
Vậy để \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai và có nghiệm là \(x = 3\) thì \(m = 6\)
c) Hàm số f(x) có \(a = 2 \ne 0\) nên là tam thức bậc hai
\(f\left( x \right) = 2{x^2} + mx – 3\) dương tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(f\left( 2 \right) > 0\)
hay \(f\left( 2 \right) = {2.2^2} + 2m – 3 > 0 \Leftrightarrow m > – \frac{5}{2}\)
Vậy để \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 2\) thì \(m > – \frac{5}{2}\)
— *****
Trả lời