Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \)
b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Áp dụng quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \)
Lời giải chi tiết
a)
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {MI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {MI} \) (đpcm)
(I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
b)
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} \end{array}\) (đpcm)
(G là trọng tâm của ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \))
— *****
Trả lời