Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \({x^2} – 3x < 4\)
b) \(0 < 2{x^2} – 11x – 6\)
c) \( – 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0\)
d) \( – 3\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) \le {x^2} – 8x + 28\)
e) \(2{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27\)
g) \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { – x + 2} \right) < 0\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bât phương trình đó.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({x^2} – 3x < 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 4 < 0\)
Xét tam thức bậc hai \({x^2} – 3x – 4\) có \(a = 1 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} = – 1\) và \({x_2} = 4\), nên \({x^2} – 3x – 4 < 0\) khi và chỉ khi \( – 1 < x < 4\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { – 1;4} \right)\)
b) Ta có \(0 < 2{x^2} – 11x – 6 \Leftrightarrow 2{x^2} – 11x – 6 > 0\)
Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} – 11x – 6\) có \(a = 2 > 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} = – \frac{1}{2}\) và \({x_2} = 6\), nên \(2{x^2} – 11x – 6 > 0\) khi và chỉ khi \(x < – \frac{1}{2}\) hoặc \(x > 6\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\)
c) Ta có \( – 2{\left( {2x + 3} \right)^2} + 4x + 30 \le 0 \Leftrightarrow – 8{x^2} – 20x + 12 \le 0\)
Xét tam thức bậc hai \( – 8{x^2} – 20x + 12\) có \(a = – 8 < 0\) và có hai nghiệm là \({x_1} = – 3\) và \({x_2} = \frac{1}{2}\), nên \( – 8{x^2} – 20x + 12 \le 0\) khi và chỉ khi \(x \le – 3\) hoặc \(x \ge \frac{1}{2}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
d) Ta có \( – 3\left( {{x^2} – 4x – 1} \right) \le {x^2} – 8x + 28 \Leftrightarrow 4{x^2} – 20x + 25 \ge 0\)
Xét tam thức bậc hai \(4{x^2} – 20x + 25 \ge 0\) có \(a = 4 > 0\) và nghiệm duy nhất là \(x = \frac{5}{2}\) nên \(4{x^2} – 20x + 25 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)
e) Ta có \(2{\left( {x – 1} \right)^2} \ge 3{x^2} + 6x + 27 \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 \le 0\)
Xét tam thức bậc hai \({x^2} + 10x + 25 \le 0\) có \(a = 1 > 0\) và nghiệm duy nhất là \(x = – 5\) nên \({x^2} + 10x + 25 \le 0\) khi và chỉ khi \(x = – 5\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left\{ { – 5} \right\}\)
g) Ta có \(2{\left( {x + 1} \right)^2} + 9\left( { – x + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x + 20 < 0\)
Xét tam thức bậc hai \(2{x^2} – 5x + 20\) có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta = – 135 < 0\) nên \(2{x^2} – 5x + 20\) luôn lớn hơn không với mọi x
Vậy bất phương trình vô nghiệm
— *****
Trả lời