Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:
a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)
b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3.13
Phương pháp giải
a) sử dụng định lý sin và công thức tính diện tích tam giác.
b) sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.
Lời giải chi tiết
a) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}.\)
\(\begin{array}{l}VT = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} + \frac{{\cos B}}{{\sin B}} + \frac{{\cos C}}{{\sin C}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}}}{{\frac{{2S}}{{ac}}}} + \frac{{\frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}}}{{\frac{{2S}}{{ab}}}}\\ = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{4S}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}} = VP\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
b) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)
\(\begin{array}{l}VT = \left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{a^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {c^2}}}{2} – \frac{{{b^2}}}{4}} \right) + \left( {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \frac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} – \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}\\ = \frac{3}{4}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
— *****
Trả lời