Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 1,\,\,a = 2,\,\,\widehat B = {120^ \circ }.\)
a) Tính \(b,\,\,\widehat A,\,\,\widehat C.\)
b) Tính diện tích của tam giác
c) Tính độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3.41
Phương pháp giải
– Áp dụng định lý cosin để tính \(b\): \({b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.\cos B\)
– Áp dụng định lý sin để tính \(\widehat A,\,\,\widehat C\): \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}.\)
– Tính diện tích \(\Delta ABC\): \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\)
– Độ dài đường cao \({h_b}\): \(S = \frac{1}{2}b.{h_b}\)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}{b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.\cos B\\ \Rightarrow \,\,{b^2} = 4 + 1 – 2.2.1.\cos {120^ \circ } = 7\\ \Rightarrow \,\,b = \sqrt 7 .\end{array}\)
Áp dụng định lý sin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}}\\{\frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin A = \frac{{a.\sin B}}{b} = \frac{{2.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}}\\{\sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{1.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt 7 }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{41}^ \circ }}\\{\widehat C \approx {{19}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
b) Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}.2.1.\sin {120^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
c) Độ dài đường cao kẻ từ \(B\) của \(\Delta ABC\) là: \({h_b} = \frac{{2S}}{b} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)
— *****
Trả lời