Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 3,\,\,b = 5,\,\,c = 7.\)
a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3.42
Phương pháp giải
– Áp dụng định lý cosin để tính các \(\widehat A,\,\,\widehat B,\,\,\widehat C.\)
– Áp dụng định lý sin để tính R: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R.\)
– Tính nửa chu vi và diện tích của \(\Delta ABC\)
– Tính bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\): \(r={S \over p} \)
Lời giải chi tiết
a) Áp dụng định lý cosin, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}\\{\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}}\\{\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos A = \frac{{25 + 49 – 9}}{{2.5.7}} = \frac{{13}}{{14}}}\\{\cos B = \frac{{9 + 49 – 25}}{{2.3.7}} = \frac{{11}}{{14}}}\\{\cos C = \frac{{9 + 25 – 49}}{{2.3.5}} = \frac{{ – 1}}{2}}\end{array}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat A \approx {{22}^ \circ }}\\{\widehat B \approx {{38}^ \circ }}\\{\widehat C = {{120}^ \circ }}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) là:
\(R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{7}{{2.\sin {{120}^ \circ }}} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}.\)
Nửa chu vi \(\Delta ABC\) là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{3 + 5 + 7}}{2} = \frac{{15}}{2}.\)
Diện tích \(\Delta ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}.3.5.\sin {120^ \circ } = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}.\)
Bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là: \(r = \frac{S}{p} = \frac{{15\sqrt 3 }}{4}:\frac{{15}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
— *****
Trả lời