Giải bài 4.13 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 – KNTT

Phương pháp giải

Nhắc lại: Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a)

Cách 1: Nhận xét về phương chiều, độ lớn của hai vecto \(\overrightarrow {KA} \) và \(\;\overrightarrow {KB} \), suy ra vị trí điểm K.

Cách 2: Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {KA} \) hoặc \(\;\overrightarrow {KB} \)) theo vecto \(\;\overrightarrow {AB} \).

b)

Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {OK} \) bằng cách chèn điểm: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} ;\;\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} .\)

Hướng dẫn giải

a)

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KA}  =  – 2\overrightarrow {KB} \)

Suy ra vecto \(\overrightarrow {KA} \) và vecto\(\;\overrightarrow {KB} \) cùng phương, ngược chiều và \(KA = 2.KB\)

\( \Rightarrow K,A,B\)thẳng hàng, K nằm giữa A và B thỏa mãn: \(KA = 2.KB\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA} } \right) + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3.\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {KB}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Vậy K thuộc đoạn AB sao cho \(KB = \frac{1}{3}AB\).

b)

Để \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KA} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {OK}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {KA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK}  + \frac{1}{3}.\overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OK}  = \overrightarrow {OK} .\end{array}\)

Hiển nhiên đúng với mọi điểm O.

Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)

Chú ý khi giải:

Với những biểu thức đơn giản (chỉ có 3 điểm) thì từ giải thiết ta có thể suy ra ngay phương, chiều, độ dài của chúng để xác định điểm M.

Với các biểu thức phức tạp hơn (có nhiều hơn 3 điểm) thì nên sử dụng phương pháp như trên: quy về một vecto chưa biết, được biểu diễn qua các vecto đã biết.