Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; – 1),\,\,B(1;4)\) và \(C(7;0).\)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(AB,\,\,BC\) và \(CA.\) Từ đó suy ra tam giác \(ABC\) là một tam giác vuông cân.
b) Tìm tọa độ của điểm \(D\) sao cho tứ giác \(ABDC\) là một hình vuông.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.23
Phương pháp giải
– Tính độ dài đoạn thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,BC\)
– Áp dụng định lý Pi-ta-go đảo để chứng minh \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
– Sử dụng tích chất hai vectơ bằng nhau để tìm điểm \(D\): \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 – 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)
\(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 4} \right)}^2}} = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \)
Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
mặt khác \(AB = AC = \sqrt {26} \)
nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\)
b) Gọi điểm \(D\) có tọa độ là: \(D(x;y).\)
Xét hình vuông \(ABDC\) có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 – 2;4 + 1) = (x – 7;y – 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( – 1;5) = (x – 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 7 = – 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy \(D(6;5)\)
— *****
Trả lời