Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(1;2),\,\,B(3;4)\) và \(C(2; – 1).\)
a) Chứng minh rằng \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.27
Phương pháp giải
– Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x;y} \right)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{*\vec u + \vec v = \left( {x + x’;y + y’} \right);}\\
{*\vec u – \vec v = \left( {x – x’;y – y’} \right);}\\
{*k\vec u = \left( {kx;ky} \right),k \in R}
\end{array}\)
– Với hai điểm M(x; y) và N(x’; y’) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( {x’ – x;y’ – y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x’ – x} \right)}^2} + {{\left( {y’ – y} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC} = (1; – 3)\)
Do \(\frac{2}{1} \ne \frac{2}{{ – 3}}\) nên các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.
\( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh của một tam giác.
Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2}\\{y = \frac{{2 + 4 – 1}}{3} = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)
Vậy \(G\left( {2;\frac{5}{3}} \right).\)
b) Gọi \(I(x;y)\) của đường tròn ngoại tiếp và \(H(x’;y’)\) là trực tâm của \(\Delta ABC.\)
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} = {{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}}\\{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} = {{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{x – 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy \(I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \) \( \Leftrightarrow \left( {x’ – \frac{{15}}{4};y’ – \frac{5}{4}} \right) = 3\left( {\frac{{ – 7}}{4};\frac{5}{{12}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ – \frac{{15}}{4} = \frac{{ – 21}}{4}}\\{y’ – \frac{5}{4} = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = \frac{{ – 3}}{2}}\\{y’ = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.\)
Vậy \(H\left( {\frac{{ – 3}}{2};\frac{5}{2}} \right).\)
— *****
Trả lời