Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng 1.
a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
b) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} \)
c) Lấy điểm \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\,\,\overrightarrow {MP} \) thuộc hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn \(MP.\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.29
Phương pháp giải
– Tính đường cao \(AM,\) tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)
– Tính độ dài \(MN\) xong áp dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh \(AN\)
– Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AN} \)
– Chứng minh \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} \)và \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} – \overrightarrow {AM} \) xong dùng phương pháp biến đổi
– Áp dụng định lý hàm cosin để tính cạnh \(MP\)
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta ABC\) đều cạnh bằng 1 có: \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {{30}^ \circ }}\\{\left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {{150}^ \circ }}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BA} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{4}\)
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\cos {150^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{ – 3}}{4}\)
b) Ta có: \(MN = CM + CN = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\)
Ta có: \(\widehat {MAN} = {60^ \circ }\)
Xét \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\) có:
\(AN = \sqrt {A{M^2} + M{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \sqrt 3 \)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AN} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 .\cos {60^ \circ } = \frac{3}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(P\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(AP = 3PN.\)
Nên \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} } \right) = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} – \overrightarrow {AM} = \frac{3}{4}\left( {2\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} } \right) – \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} – \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)
Ta có: \(AP = \frac{3}{4}AN = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow \) \(MP = \sqrt {A{P^2} + A{M^2} – 2AP.AM.\cos \widehat {MAP}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\)
— *****
Trả lời