Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD.\)
a) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(BM\) vuông góc với nhau.
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC,\,\,BM.\) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AH\) và \(P\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh rằng tam giác \(NBP\) là một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.30
Phương pháp giải
– Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BM} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} \)
– Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,AH\)
– Tính các vectơ \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NP} \) xong tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành)
Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} – \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} = – 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) – 1 + 1 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \) \( \Rightarrow \) \(AC \bot BM\)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 \) (1)
Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(A\) có:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3\)
\( \Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AH = \frac{1}{3}AC\)
Ta có: \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)
Ta có: \(\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {CP} – \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} – \frac{5}{6}\overrightarrow {CA} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} – \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 – \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} – \frac{5}{{18}} = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \) \( \Rightarrow \) \(NB \bot NP\)
\( \Rightarrow \) \(\Delta NBP\) vuông tại \(N\).
— *****
Trả lời