Giải bài 4.34 trang 65 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 – KNTT

Phương pháp giải

–  Tính các các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) xong tính tích vô hướng của chúng để tìm tọa độ điểm \(C.\)

–  Tính chu vi và diện tích tam giác \(ABC.\)

–  Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\) để tìm tọa độ điểm \(D.\)

Lời giải chi tiết

a)  Vì điểm \(C\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(C\) là: \(C(x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\) và \(\overrightarrow {AC}  = (x – 2; – 1)\)

Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2\left( {x – 2} \right) – 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(2x – 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \(x = 3\)

Vậy \(C(3;0).\)

Ta có: \(AB = 2\sqrt 2 ,\) \(AC = \sqrt 2 \) và \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3 – 4} \right)}^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 2\sqrt 2  + \sqrt 2  + \sqrt {10}  = 3\sqrt 2  + \sqrt {10} \)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2\) (đvdt)

b) Gọi tọa độ điểm \(D\) là: \(D(x;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = (x – 2;y – 1)\) và \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\)

Để tam giác \(ABD\) vuông cân tại \(A\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0}\\{AB = AD}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y – 1} \right) = 0}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 3}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – x – 1} \right)}^2} = 8}\end{array}} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{{{\left( {x – 2} \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3 – x}\\{x – 2 =  \pm 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{y =  – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(D(0;3)\) hoặc \(D(4; – 1)\)

— *****