Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A(1;4)\) và \(C(9;2)\) là hai đỉnh của hình vuông \(ABCD.\) Tìm tọa độ các đỉnh \(B,\,\,D\) biết rằng tung độ của \(B\) là một số âm.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4.35
Phương pháp giải
– Gọi \(B(x;y)\) và \(D(x’;y’)\). Điều kiện: \(y < 0\)
– Tính tọa độ trung điểm \(I\) của cạnh \(AC\)
– Lập công thức tính tọa độ trung điểm \(I\) của cạnh \(BD\)
– Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(B(x;y)\) và \(D(x’;y’)\). Điều kiện: \(y < 0\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 9}}{2} = 5}\\{y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \) \(I(5;3)\)
Ta có: \(I\) là trung điểm của
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + x’ = 10}\\{y + y’ = 6}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 – x’}\\{y = 6 – y’}\end{array}} \right.} \right.\) (1)
Xét hình vuông \(ABCD\) có \(I\) là trung điểm của \(AC\)
\( \Rightarrow \) \(AC \bot BD\) tại trung điểm \(I\) của chúng.
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = ( – 4;1)\), \(\overrightarrow {IB} = (x – 5;y – 3)\), \(\overrightarrow {IC} = (4; – 1)\) và \(\overrightarrow {ID} = (x’ – 5;y’ – 3)\)
Xét \(\Delta AID\) vuông tại \(I\) có:
\( \Rightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID} = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 4\left( {x’ – 5} \right) + \left( {y’ – 3} \right) = 0}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + {{\left( {y’ – 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + {{\left( {4x’ – 17 – 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} + 16{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{{{\left( {x’ – 5} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y’ = 4x’ – 17}\\{x’ – 5 = \pm 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = 6}\\{y’ = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x’ = 4}\\{y’ = – 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\(\) (thỏa mãn)
Với \(x’ = 4\) và \(y’ = – 1\) thay vào hệ phương trình (1), ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 – 4 = 6}\\{y = 4 + 1 = 7}\end{array}} \right.\) (loại)
Với \(x’ = 6\) và \(y’ = 7\) thao vào hệ phương trình (1), ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 – 6 = 4}\\{y = 6 – 7 = – 1}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy \(B(4; – 1)\) và \(D(6;7)\)
— *****
Trả lời