Giải bài 4.60 trang 70 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 – KNTT

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Tính \( \(\overrightarrow {GA} \), \( \(\overrightarrow {GM} \), \( \(\overrightarrow {GN} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) hai tam giác \(ABC\) và \(AMN\) có cùng trọng tâm.

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Đặt \(\overrightarrow {GB}  = \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow v .\)

Ta có: \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {GA}  =  – \overrightarrow {GB}  – \overrightarrow {GC}  =  – \overrightarrow u  – \overrightarrow v  =  – \left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BM} \)

\( = \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GC}  – \overrightarrow {GB} } \right)\\ = \frac{2}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CN} \)

 \(\begin{array}{l} = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {GC}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB}  – \overrightarrow {GC} } \right)\\ = \frac{1}{3}\overrightarrow {GB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {GC}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow u  + 2\overrightarrow v } \right)\end{array}\)

— *****