Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = \sqrt {{x^2} + mx + m – 1} \) (1)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6.31
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (Giải BPT \(2{x^2} + x + 1\) ≥ 0)
Bước 2: Bình phương 2 vế của phương trình đã cho thu được phương trình \({x^2} + (1 – m)x – m + 2 = 0\) (2)
Bước 3: Tìm điều kiện để PT (2) có nghiệm thuộc tập xác định rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Tam thức bậc hai \(2{x^2} + x + 1\) có a = 2 > 0, ∆ = -7 < 0 nên \(2{x^2} + x + 1\) > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) PT (1) xác định trên \(\mathbb{R}\)
Bình phương 2 vế của PT (1) ta thu được PT: \({x^2} + (1 – m)x – m + 2 = 0\) (2)
Ta có: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm
Tam thức bậc 2 \({x^2} + (1 – m)x – m + 2\) có ∆ = \({(1 – m)^2} – 4( – m + 2) = {m^2} + 2m – 7\)
PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le – 1 – 2\sqrt 2 \) hoặc \(m \ge – 1 + 2\sqrt 2 \)
Vậy với \(m \in \left[ { – \infty ; – 1 – 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { – 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right]\) thì PT (1) có nghiệm
— *****
Trả lời