Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} – 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)
b) Tam thức bậc hai \(y = – {x^2} + mx – 1\) có dấu không phụ thuộc vào x
c) Hàm số \(y = \sqrt { – 2{x^2} + mx – m – 6} \) có tập xác định chỉ gồm một phần tử
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6.60
Phương pháp giải
Xét hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} – 2mx + 5} }}\)
+) Với m = 0
+) Với m ≠ 0
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} – 2mx + 5} }}\)
+) Với m = 0 thì hàm số có dạng \(y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m ≠ 0, hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} – 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m{x^2} – 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(m{x^2} – 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m > 0\) và \(\Delta ‘ = {m^2} – 5m < 0\) \( \Leftrightarrow m > 0\) và \(0 < m < 5\) \( \Leftrightarrow 0 < m < 5\)
Kết hợp các điều kiện, với \(m \in {\rm{[}}0;5)\) thì hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} – 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)
b) Tam thức bậc hai \(y = – {x^2} + mx – 1\) có a = -1 < 0
Khi đó \(y = – {x^2} + mx – 1\) có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi \(y = – {x^2} + mx – 1\) < 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow \)\(\Delta = {m^2} – 4 < 0 \Leftrightarrow – 2 < m < 2\)
Vậy với \(m \in ( – 2;2)\) thì Tam thức bậc hai \(y = – {x^2} + mx – 1\) có dấu không phụ thuộc vào x
c) Hàm số \(y = \sqrt { – 2{x^2} + mx – m – 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi
\( – 2{x^2} + mx – m – 6 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} – 8(m + 6) = 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} – 8m – 48 = 0 \Leftrightarrow m = – 4\)hoặc m = 12
Vậy với \(m \in {\rm{\{ }} – 4;12{\rm{\} }}\) thì Hàm số \(y = \sqrt { – 2{x^2} + mx – m – 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử .
— *****
Trả lời