Viết phương trình chính tắc của hypebol \(\left( H \right)\), biết \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3\sqrt 2 ; – 4} \right)\) và có một tiêu điểm \({F_2}\left( {5;0} \right)\)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7.32
Phương pháp giải
Phương trình Hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { – c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right)\)và có tiêu cự là \(2c\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Lời giải chi tiết
+ Phương trình chính tắc của \(\left( H \right)\) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\)
+ Do \(\left( H \right)\) có 1 tiêu điểm \({F_2}\left( {5;0} \right)\) nên ta có: \(c = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} = 25 \Rightarrow {a^2} = 25 – {b^2}\)
+ \(\left( H \right)\) đi qua \(M\left( {3\sqrt 2 ;4} \right)\) nên ta có: \(\frac{{{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{4^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{18}}{{{a^2}}} – \frac{{16}}{{{b^2}}} = 1\)
+ Đặt \(t = {b^2} > 0 \Rightarrow {a^2} = 25 – t\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{18}}{{25 – t}} – \frac{{16}}{t} = 1 \Rightarrow 18t – 16\left( {25 – t} \right) = t\left( {25 – t} \right)\\ \Rightarrow {t^2} + 9t – 400 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 16\left( {TM} \right)\\t = – 25\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {b^2} = t = 16,{a^2} = 25 – t = 9\)
Vậy phương trình chính tắc của \(\left( H \right)\) là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
— *****
Trả lời