Giải bài 7.55 trang 49 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 – KNTT

Phương pháp giải

+ Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \)

+ Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC} \)

+ Khoảng cách từ 1 điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

+ \(\left( {a;b} \right)\) và \(\left( {c;d} \right)\) cùng là vector pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Góc giữa hai đường thẳng này được tính qua công thức:  \(cos\varphi  = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}\) 

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right)\)

Phương trình tham số của AB đi qua \(A\left( {1; – 1} \right)\) và có vector chỉ phương là \(\left( {1;3} \right)\) là :\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  – 1 – 3t\end{array} \right.\)

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { – 5; – 1} \right)\) là: \(5\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow 5x + y – 4 = 0\)

c) Viết phương trình đường thẳng BC:

+ \(\overrightarrow {BC}  = \left( { – 5; – 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; – 5} \right) \Rightarrow BC:1\left( {x – 3} \right) – 5\left( {y – 5} \right) = 0 \Rightarrow BC:x – 5y + 22 = 0\)

+ \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 – 5\left( { – 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}\)

d) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { – 3;5} \right) \Rightarrow cos\left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 – co{s^2}\alpha }  = \frac{7}{{\sqrt {85} }}\)

— *****