Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: 1.4+2.7+⋅⋅⋅+n3n+1=nn+12   (1)

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +n\left(3n+1\right)=n{\left(n+1\right)}^2$   (1)

Trả lời:

* Với n =  1:  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4. Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ $=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi un  = 9n  – 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với mỗi số nguyên dương n, gọi $u_n = 9^n – 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì u_n luôn chia hết cho 8.

   Trả lời:

   * Ta có $u_1=9^1-1=8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).* Giả sử $u_k=9^k-1$ chia hết cho 8. Ta cần chứng minh $u_{k+1}=9^{k+1}-1$ chia hết cho 8.Thật vậy, ta có $u_{k+1}=9^{k+1}-1={9.9}^k-1=9\left(9^k-1\right)+8=9u_k+8$. Vì $9u_k$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k+1}$ cũng chia hết cho 8.Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 8.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có: 2n +1 >  2n + 3   (*)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$, ta luôn có: $2^{n +1} > 2n + 3$   (*)

   Trả lời:

   * Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng). Vậy (*) đúng với n= 2 . * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:$2^{k+2}>2(k+1)+3$Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được: ${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.  ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 ) Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Tìm công thức tính số hạng tổng quát un theo n của dãy số sau u1=3un+1=un+2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo n của dãy số sau $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=u_n+2\end{array}\right.$

   A. $u_n = 3n + n^2 –1$

   B. $u_n = 2n + 1$

   Đáp án chính xác

   C. $u_n = 4n –10$

   D. Đáp án khác

   Trả lời:

   Ta có: $u_2=u_1+2=3+2=5.$ $u_3=u_2+2=5+2=7.$ $u_4=u_3+2=7+2=9.$ $u_5=u_4+2=9+2=11.$ Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:$u_n=2n+1\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.Với n =1 ; $u_1 =2.1 +1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: $u_k = 2k +1$ (2)Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 – có nghĩa là ta phải chứng minh:$u_{k+1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3 Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:$u_{k+1}$ = $u_k$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3 Vậy (*) đúng khi n = k+1 .Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) biết: un=  1n−  2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng giảm của dãy số $\left(u_n\right)$ biết: $u_n=\frac{1}{n}-2$

   A. Dãy số tăng

   B. Dãy số giảm

   Đáp án chính xác

   C. Dãy số không tăng không giảm

   C. Dãy số không tăng không giảm

   Trả lời:

   Xét hiệu:   $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\left(\frac{1}{n}-2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\forall n\in \mathbb{N}*$Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm. Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : un=2n−1n+3;n∈N*
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số : $u_n=\frac{2n-1}{n+3};n\in N*$

   A. Dãy số giảm, bị chặn trên

   B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

   C. Dãy số tăng, bị chặn.

   Đáp án chính xác

   D. Dãy số giảm, bị chặn dưới.

   Trả lời:

   Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}$$=\frac{2n^2+7n+3-2n^2-7n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{7}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}>0;\forall n\in N*$Vậy: $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$ Suy ra:$\forall n\in \mathbb{N}*,u_n<2$ nên  $\left(u_n\right)$ bị chặn trên. Vì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng $\forall n\in \mathbb{N}*,u_1=\frac{1}{4}\le u_n$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới. Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn. Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====