20 câu Trắc nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn ${\left(2x-5\right)}^2-4{\left(x-2\right)}^2=0$?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left(2x-5\right)}^2-4{\left(x-2\right)}^2=0$

${\left(2x-5\right)}^2-{\left[2\left(x-2\right)\right]}^2=0$

${\left(2x-5\right)}^2-{\left(2x-4\right)}^2=0$

$\left(2x-5+2x-4\right)\left(2x-5-2x+4\right)=0$

(4x – 9).(-1) = 0

4x = 9

x = $\frac{9}{4}$

Câu 2. Đa thức $4b^2{c}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2$ được phân tích thành

A. $\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$

B. $\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$

C. $\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right){\left(a+b-c\right)}^2$

D. $\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $4b^2{c}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2$

= ${\left(2bc\right)}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2$

= $\left(2bc+c^2+b^2-a^2\right)\left(2bc-c^2-b^2+a^2\right)$

= $\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right]$

= $\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]$

= $\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$

Câu 3. Tính nhanh giá trị của biểu thức $x^2+2x+1-y^2$ tại x = 94,5 và y = 4,5.

A. 8900

B. 9000

C. 9050

D. 9100

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$x^2+2x+1-y^2=\left(x^2+2x+1\right)-y^2$ (nhóm hạng tử)

= ${\left(x+1\right)}^2-y^2$ (áp dụng hằng đẳng thức)

= $\left(x+1-y\right)\left(x+1+y\right)$

Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:

$\left(94,5+1-4,5\right)\left(94,5+1+4,5\right)$

= 91.100 = 9100

Câu 4. Hiệu bình phương các số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2\text{k}-1;2\text{k}+1(\text{k}\in \mathbb{N}*)$

Theo bài ra ta có:

${\left(2\text{k}+1\right)}^2-{\left(2\text{k}-1\right)}^2$ = $4{\text{k}}^2+4\text{k}+1-4{\text{k}}^2+4\text{k}-1$ = $8\text{k\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}⋮8,\forall \text{k}\in \mathbb{N}*$

Câu 5. Giá trị của x thỏa mãn 5x² – 10x + 5 = 0 là

A. x = 1

B. x = – 1

C. x = 2

D. x = 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A 

Ta có: 5x² – 10x + 5 = 0

⇔ 5(x² – 2x + 1) = 0

⇔ (x – 1)² = 0

⇔ x – 1 = 0

⇔ x = 1

Câu 6. Phân tích đa thức thành nhân tử x² + 6x + 9, ta được

A. (x + 3)(x – 3)

B. (x – 1)(x + 9)

C. (x + 3)²

D. (x + 6)(x – 3)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $x^2+6x+9=x^2+2x.3+3^2={\left(x+3\right)}^2$.

Câu 7. Tính giá trị biểu thức P = x³ – 3x² + 3x với x = 1001.

A. 1000³ + 1

B. 1000³ – 1

C. 1000³

D. 1001³

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = $x^3-3x^2+3x-1+1$ = ${\left(x-1\right)}^3+1$

Thay x = 1001 vào P, ta được:

P = ${\left(1001-1\right)}^3+1={1000}^3+1$

Câu 8. Tính nhanh biểu thức 37² – 13².

A. 1200

B. 800

C. 1500

D. 1800

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

37² – 13² = (37 – 13)(37 + 13)

= 24.50 = 1200

Câu 9. Phân tích đa thức $x^2-2xy+y^2-81$ thành nhân tử:

A. (x – y – 3)(x – y + 3)

B. (x – y – 9)(x – y + 9)

C. (x + y – 3)(x + y + 3)

D. (x + y – 9)(x + y – 9)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$x^2-2xy+y^2-81$ = $\left(x^2-2xy+y^2\right)-81$ (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)

= (x – y)² – 9² (áp dụng hằng đẳng thức ${\text{A}}^{\text{2}}-{\text{B}}^{\text{2}}\text{=}\left(\text{A}-\text{B}\right)\left(\text{A + B}\right)$

= (x – y – 9)(x – y + 9)

Câu 10. Giá trị thỏa mãn biểu thức 2x² – 4x + 2 = 0 là

A. 1

B. – 1

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2x² – 4x + 2 = 0

2(x² – 2x + 1) = 0

2(x – 1)² = 0

x – 1 = 0

x = 1

Vậy x = 1

Câu 11. Cho |x| < 3 và biểu thức A = $x^4+3x^3-27x-81$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A > 1

B. A > 0

C. A < 0

D. A ≥ 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: A = $x^4+3x^3-27x-81$

= $\left(x^4-81\right)+\left(3x^3-27x\right)$

= $\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)+3x\left(x^2-9\right)$

= $\left(x^2-9\right)\left(x^2+3x+9\right)$

Ta có: $x^2+3x+9$ = $x^2+2\cdot \frac{3}{2}x+\frac{9}{4}+\frac{27}{4}\ge \frac{27}{4}>0$ ∀ x ∈ ℝ.

Mà |x| < 3 nên x² < 9 hay x² – 9 < 0.

Do đó A = $\left(x^2-9\right)\left(x^2+3x+9\right)<0$ khi |x| < 3.

Câu 12. Đa thức x⁶ – y⁶ được phân tích thành

A. ${\left(x+y\right)}^2\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

B. ${\left(x+y\right)}^2\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

C. ${\left(x+y\right)}^2\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

D. ${\left(x+y\right)}^2\left(x^2+2xy+y^2\right)\left(y-x\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^6-y^6={\left(x^3\right)}^2-{\left(y^3\right)}^2=\left(x^3+y^3\right)\left(x^3-y^3\right)$

$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$.

Câu 13. Cho x = 20 – y và biểu thức B = ${\text{ x}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ 3x}}^{\text{2}}{\text{y + 3xy}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ y}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ x}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ 2xy + y}}^{\text{2}}$. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B < 8300

B. B > 8500

C. B < 0

D. B > 8300

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: B = ${\text{ x}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ 3x}}^{\text{2}}{\text{y + 3xy}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ y}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ x}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ 2xy + y}}^{\text{2}}$

= $\left(x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3\right)+\left({\text{x}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ 2xy + y}}^{\text{2}}\right)$

= ${\left(x+y\right)}^3+{\left(x+y\right)}^2$

= ${\left(x+y\right)}^2\left(x+y+1\right)$

Vì x = 20 – y nên x + y = 20.

Thay x + y = 20 vào B = ${\left(x+y\right)}^2\left(x+y+1\right)$, ta được

B = (20)²(20 + 1) = 400.21 = 8400.

Vậy B > 8300 khi x = 20 – y.

Câu 14. Chọn câu sai.

A. ${\text{x}}^2-6\text{x}+9={\left(\text{x}-3\right)}^2$

B. $\frac{{\text{x}}^2}{4}+2\text{xy}+4{\text{y}}^2={\left(\frac{\text{x}}{4}+2\text{y}\right)}^2$

C. $\frac{{\text{x}}^2}{4}+2\text{xy}+4{\text{y}}^2={\left(\frac{\text{x}}{2}+2\text{y}\right)}^2$

D. $4{\text{x}}^2-4\text{xy}+{\text{y}}^2={(2\text{x}-\text{y})}^2$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

• ${\text{x}}^2-6\text{x}+9=x^2-2.3x+3^2={\left(\text{x}-3\right)}^2$ nên A đúng.

• $\frac{{\text{x}}^2}{4}+2\text{xy}+4{\text{y}}^2$ = ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2\mathrm{.2.2}y+{\left(2y\right)}^2$ = ${\left(\frac{\text{x}}{2}+2\text{y}\right)}^2$ nên B sai, C đúng.

• $4{\text{x}}^2-4\text{xy}+{\text{y}}^2={\left(2x\right)}^2-2.2x.y+y^2={(2\text{x}-\text{y})}^2$ nên D đúng.

Câu 15. Với a³ + b³ + c³ = 3abc thì

A. a = b = c

B. a + b + c = 1

C. a = b = c hoặc a + b + c = 0

D. a = b = c hoặc a + b + c = 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đẳng thức đã cho suy ra a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

$b^3+c^3=\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)$

= $\left(b+c\right)\left[{\left(b+c\right)}^2-3bc\right]$

= ${\left(b+c\right)}^3-3bc\left(b+c\right)$.

Khi đó $a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc$

= $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc\left(b+c\right)-3abc$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2\right)-\left[3bc\left(b+c\right)+3abc\right]$.

Do đó $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc$ = $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2\right)-3bc\left(a+b+c\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab-ac+b^2+2bc+c^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)$

Do đó nếu $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc=0$ thì a + b +c = 0 hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$

Mà $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$ = $\left[{\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right]$

Nếu ${\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2=0$ $\iff \left\{\begin{array}{c}a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0\end{array}\right.\Rightarrow a=b=c$.

Vậy $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc=0$ thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.