20 câu Trắc nghiệm Phân thức đại số (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 8

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1: Phân thức đại số

Câu 1. Điều kiện để phân thức $\frac{2\text{x}-5}{3}<0$ là

A. $\text{x}>\frac{5}{2}$

B. $\text{x < }\frac{5}{2}$

C. $\text{x <}-\frac{5}{2}$

D. x > 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để phân thức $\frac{2\text{x}-5}{3}<0$ thì 2x – 5 < 0 hay 2x < 5.

Do đó $\text{x}<\frac{5}{2}$.

Câu 2. Giá trị lớn nhất của phân thức A = $\frac{16}{{\text{x}}^2-2\text{x}+5}$ là

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ nên ${\left(\text{x}-1\right)}^2+4\ge 4\forall \text{x}\in ℝ$ hay ${\text{x}}^2-2\text{x}+5\ge 4$.

Do đó $\frac{16}{{\text{x}}^2-2\text{x}+5}\le \frac{16}{4}$ hay A ≤ 4.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)² = 0 hay x = 1.

Vậy với x = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất là 4.

Câu 3. Cho a > b > 0. Chọn câu đúng.

A. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

B. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{> 2}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

C. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{>}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

D. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}<\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do a > b > 0 nên a – b > 0, a + b > 0

Khi đó (a – b)(a + b) > 0

Ta có: $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a + b}\right)}\text{=}\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với (a−b) ta được:

$\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$ = $\frac{\left(\text{a + b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}$ = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}\text{<}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$ (do 0 < a² – b² < a² + b²)

Câu 4. Phân thức $\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}$ (với x ≠ 3) bằng với phân thức nào sau đây?

A. $\frac{\text{x}-4}{\text{x}+3}$

B. $\frac{\text{x + }4}{\text{x}+3}$

C. $\frac{\text{x}-4}{\text{x}-3}$

D. $\frac{\text{x + }4}{\text{x}-3}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}\text{=}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{4x}-\text{3x + 12}}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}$

= $\frac{\text{x}\left(\text{x}-\text{4}\right)-\text{3}\left(\text{x}-\text{4}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\left(\text{x}-\text{4}\right)\left(\text{x}-\text{3}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\text{x}-\text{4}}{\text{x}-\text{3}}$.

Câu 5. Mẫu thức chung của các phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là

A. (x – 3)³

B. x – 3

C. 2(x – 3)⁴

D. 2(x – 3)³

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức của hai phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là 2(x – 3) và (x – 3)³ nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là (x – 3)³.

Do đó mẫu thức chung là 2(x – 3)³.

Câu 6. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

A. $\frac{1}{{\text{x}}^2+1}$

B. $\frac{\text{x}+3}{5}$

C. x² – 3x + 1

D. $\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Câu 7. Với điều kiện nào của x thì phân thức $\frac{5\text{x}-7}{{\text{x}}^2-9}$ có nghĩa?

A. x ≠ 3

B. $\text{x}\ne \frac{7}{5}$

C. x ≠ -3

D. $\text{x}\ne \pm 3$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức $\frac{5\text{x}-7}{{\text{x}}^2-9}$ có nghĩa khi và chỉ khi x² – 9 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \pm 3$.

Câu 8. Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức $\frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}$?

A. $\frac{{\text{25x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

B. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{3}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

C. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{15xy}}$

D. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ và ${\text{3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}{\text{ = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$

$\Rightarrow {\text{5x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ $\Rightarrow \frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}\text{=}\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị của x để phân thức $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}$ có giá trị bằng 0?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: ${\text{x}}^2-2\text{x}+1\ne 0$ ⇔ ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ne 0$ ⇔ x – 1 ≠ 0⇔ x ≠ 0

Ta có: $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}=0$ ⇔ x² – 1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{c}x=1\left(L\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 10. Tìm đa thức M thỏa mãn: $\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}\left(\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}\right)$

A. M = 6x² + 9x

B. M = -3x

C. M = 3x

D. M = 2x + 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với $\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}$, ta có:

$\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}$

$M\left(4x^2-9\right)=\left(6x^2+9x\right)\left(2x-3\right)$

M(2x – 3)(2x + 3) = 3x(2x + 3)(2x – 3)

=> M = 3x

Câu 11. Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được:

A. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

B. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3y}}{\text{xyz}}$

C. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2z}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

D. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3}}{\text{xyz}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mẫu chung của các phân thức là xyz

Nhân tử phụ của $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ là yz nên $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{y}$ là xz nên $\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{\text{3}}{\text{z}}$ là xy nên $\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

Vậy quy đồng mẫu số các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được

$\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$.

Câu 12. Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$

A. (x – 2)(x + 2)²

B. (2 – x)(x – 2)²(x + 2)²

C. (x – 2)²(x + 2)²

D. (x – 2)²

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$ có mẫu thức lần lượt là: 2 – x; (x – 2)² và x² + 4x + 4 = (x + 2)² nên mẫu thức chung là (x – 2)²(x + 2)².

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để phân thức $\frac{5}{3\text{x}+2}$ có giá trị là một số nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x + 2 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \frac{-2}{3}$

Để $\frac{5}{3\text{x}+2}\in \mathbb{Z}$ thì (3x + 2) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Với 3x + 2 = -5, ta có $\text{x}=-\frac{7}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = -1, ta có x = -1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 1, ta có $\text{x}=-\frac{1}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 5, ta có x = 1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Vậy có hai giá trị x để phân thức $\frac{5}{3\text{x}+2}$ có giá trị là một số nguyên.

Câu 14. Cho các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$

• An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 2(x² – 1)

• Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 12(x−1)(x + 1).

Chọn câu đúng.

A. Bạn An đúng, bạn Bình sai.

B. Bạn An sai, bạn Bình đúng.

C. Hai bạn đều đúng.

D. Hai bạn đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ có mẫu thức lần lượt là:

3 – 3x = 3(1 – x); 4x + 4 = 4(x + 1) và 2(x² – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

Vì (x – 1)(x + 1) = x² – 1 và BCNN(2; 3; 4) = 12 nên mẫu thức chung của các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ là 12(x – 1)(x + 1)

Vậy An sai, Bình đúng.

Câu 15. Cho A = $\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-{\text{x}}^{\text{3}}-\text{x + 1}}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. A luôn nhận giá trị không âm với mọi x

B. A luôn nhận giá trị dương với mọi x

C. Giá trị của A không phụ thuộc vào x

D. A luôn nhận giá trị âm với mọi x

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

A = $\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-{\text{x}}^{\text{3}}-\text{x + 1}}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x^2+x+1\right)+2\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+2}$.

Ta có: ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ và ${\text{x}}^2+2>0\forall \text{x}\in ℝ$ nên A = $\frac{{\left(\text{x}-1\right)}^2}{{\text{x}}^2+2}\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$

Vậy A luôn nhận giá trị không âm với mọi x.