20 Bài tập Hình thoi (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Hình thoi

A. Bài tập Hình thoi

Bài 1. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24 cm và 10 cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10 cm, BD = 24 cm.

Do ABCD là hình thoi nên:

AC ⊥ BD

$AH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)$

$HB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.24=12\left(cm\right)$

Xét tam giác AHB vuông tại H:

AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 169

Do đó AB = 13 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, M’ là điểm đối xứng với M qua D. Tứ giác AMBM’ là hình gì?

Hướng dẫn giải

 

Vì M’ đối xứng M qua D nên DM = DM’

M là trung điểm BC

D là trung điểm AB

Suy ra MD là đường trung bình của ΔABC.

Suy ra MD // AC.

Mặt khác ΔABC vuông ở A nên AB ⊥ AC.

Do đó AB ⊥ DM hay AB ⊥ MM’.

Vì D là trung điểm của AB và MM’ nên tứ giác AMBM’ là hình bình hành.

Mà AB ⊥ MM’ nên AMBM’ là hình thoi.

Vậy AMBM’ là hình thoi.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì hình bình hành ABCD có AC vuông góc với ADnên $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}=90°$.

Xét tam giác vuông CAD vuông tại A có AF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD.

Suy ra $AF=\frac{1}{2}CD\Rightarrow AF=FC=FD=\frac{1}{2}CD$  (1)

Tương tự xét tam giác vuông ACB vuông tại C có CE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB.

 $\Rightarrow CE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow EC=AE=EB=\frac{1}{2}AB$(2)

Lại có: AB = CD (tính chất hình bình hành) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AE = CE = CF = FA

Suy ra tứ giác AECF là hình thoi.

Bài 4. Cho tam giác GHJ cân tại G. Đường trung tuyến kẻ từ G của tam giác cắt HJ tại K. Lấy điểm I trên tia GK sao cho KG = KI. Chứng minh GHIJ là hình thoi.

Hướng dẫn giải

• Ta có GK là trung tuyến của tam giác GHJ nên K là trung điểm của HJ.

Do KG = KI nên K là trung điểm của GI.

Tứ giác GHIJ có hai đường chéo GI và HJ cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên là hình bình hành.

• ∆GHJ cân tại G nên đường trung tuyến GK đồng thời là đường cao tương ứng với cạnh HJ nên GI ⊥ HJ.

Hình bình hành GHIJ có hai đường chéo GI và HJ vuông góc với nhau nên là hình thoi

Bài 5. Cho hình thoi ABCD có B là góc tù. Từ B hạ BM ⊥ AD, BN ⊥ CD. Từ D hạ DP ⊥ AB, DQ ⊥ BC. Gọi H là giao điểm của MB và PD, K là giao điểm của BN và DQ, O là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABD.

b) Chứng minh A, H, K, C thẳng hàng.

c) Chứng minh $\widehat{PDQ}=\widehat{MBN}$ .

d) Chứng minh $\widehat{PHM}=\widehat{QKN}$ .

e) Chứng minh tứ giác BHDK là hình thoi.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABD có hai đường cao BM, DP cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác.

b) ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD tại O, do đó A, O, C thẳng hàng (1)

Do H là trực tâm của DABD suy ra AH ⊥ BD tại O nên H ∈ AO (2)

Chứng minh tương tự câu a ta có K là trực tâm DBCD

Suy ra CK ⊥ BD tại O nên K ∈ CO (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A, H, K, C thẳng hàng.

c) Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra AC là đường trung trực của BD

Do đó HB = HD nên DHBD cân tại H, suy ra ${\hat{B}}_1={\hat{D}}_1$

Tương tự, ${\hat{B}}_2={\hat{D}}_2$

Suy ra ${\hat{B}}_1+{\hat{B}}_2={\hat{D}}_1+{\hat{D}}_2$ hay $\widehat{MBN}=\widehat{PDQ}$.

d) ABCD là hình thoi nên $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$

Tứ giác APHM có $\widehat{PHM}=360°-90°-90°-\widehat{BAD}$

Tứ giác CQKN có $\widehat{QKN}=360°-90°-90°-\widehat{BCD}$

Suy ra $\widehat{PHM}=\widehat{QKN}$ .

e) Ta có: ${\hat{A}}_1+{\hat{H}}_2=90°$ và ${\hat{C}}_1+{\hat{K}}_2=90°$

Mà ${\hat{A}}_1={\hat{C}}_1$ nên ${\hat{H}}_2={\hat{K}}_2$

Lại có ${\hat{H}}_1={\hat{H}}_2$ (đối đỉnh) và ${\hat{K}}_1={\hat{K}}_2$ (đối đỉnh) nên ${\hat{H}}_1={\hat{K}}_1$

Suy ra DBHK cân tại B, nên BH = BK

Mà BH = DH và BK = DK nên BH = HD = CK = KB

Suy ra tứ giác BHDK là hình thoi.

B. Lý thuyết Hình thoi

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Cho hình vẽ, tứ giác MNPQ có phải là hình thoi không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ, ta có MN = NP = PQ = QM (vì cùng bằng 2,5 cm) nên tứ giác MNPQ là hình thoi.

2. Tính chất

Trong một hình thoi:

– Các cạnh đối song song;

– Các góc đối bằng nhau;

– Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;

– Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, AC = 3 cm, BD = 4 cm. Tính độ dài của OA, OB, AB.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của hai đường chéo AC, BD.

Suy ra: $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.3=1,5\left(cm\right)$

 

$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)$

Ta có AC ⊥ BD (vì ABCD là hình thoi) nên tam giác OAB vuông tại O.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

AB² = OA² + OB²

Do đó AB² = 1,5² + 2² = 6,25 hay AB = 2,5 (cm).

Vậy OA = 1,5 cm; OB = 2 cm; AB = 2,5 cm.

3. Dấu hiệu nhận biết

Ta có dấu hiệu nhận biết:

– Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.

– Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các điểm M, N lần lượt thuộc tia đối của tia AB, AC sao cho AM = AB, AN = AC. Chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi.

Hướng dẫn giải

Tứ giác BCMN có A là trung điểm của hai đường chéo BM và CN nên BCMN là hình bình hành.

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90°$  hay BM ⊥ CD.

Vậy hình BCMN có hai đường chéo BM và CN vuông góc với nhau nên BCMN là hình thoi.