Giải Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp), chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) lớp 8.

Giải bài tập Toán 8 lớp 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời câu hỏi 1 trang 13 sgk Toán 8 Tập 1: Tính $\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2$ (với a,b là hai số tùy ý).

Phương pháp giải: Áp dụng:

– Hằng đẳng thức bình phương một tổng.

– Quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \left(a+b\right){\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\\ & =a\left(a^2+2ab+b^2\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)\\ & =a.a^2+a.2ab+a.b^2+b.a^2+b.2ab+b.b^2\\ & =a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3\\ & =a^3+\left(2a^{2}b+a^{2}b\right)+\left(2a{b}^2+a{b}^2\right)+b^3\\ & =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$

Trả lời câu hỏi 2 trang 13 sgk Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (4) bằng lời.

Áp dụng:

a) Tính $(x+1{)}^3$

b) Tính $(2x+y{)}^3$

Phương pháp giải: Hằng đẳng thức

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$  (4)

Lời giải:

Phát biểu: Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai.

Áp dụng:

$\begin{array}{l}a){\left(x+1\right)}^3=x^3+3x^2.1+3x{.1}^2+1^3\\ =x^3+3x^2+3x+1\\ b){\left(2x+y\right)}^3\\ ={\left(2x\right)}^3+3.{\left(2x\right)}^2.y+3.2x.y^2+y^3\\ =8x^3+3.4x^2.y+6x{y}^2+y^3\\ =8x^3+12x^{2}y+6x{y}^2+y^3\end{array}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 13 sgk Toán 8 Tập 1: Tính ${\left[a+\left(-b\right)\right]}^3$ (với $a,b$ là các số tùy ý).

Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức (4) ${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& {\left[a+\left(-b\right)\right]}^3\\ & =a^3+3a^2.\left(-b\right)+3a.{\left(-b\right)}^2+{\left(-b\right)}^3\\ & =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\end{array}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 13 sgk Toán 8 Tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (5) bằng lời.

Áp dụng:

a) Tính ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^3$

b) Tính $(x-2y{)}^3$

c) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$\begin{array}{l}1){\left(2x-1\right)}^2={\left(1-2x\right)}^2\\ 2){\left(x-1\right)}^3={\left(1-x\right)}^3\\ 3){\left(x+1\right)}^3={\left(1+x\right)}^3\\ 4)x^2-1=1-x^2\\ 5){\left(x-3\right)}^2=x^2-2x+9\end{array}$

Em có nhận xét gì về quan hệ của $(A-B{)}^2$ với $(B-A{)}^2$, của $(A-B{)}^3$ với $(B-A{)}^3$

Phương pháp giải: Hằng đẳng thức ${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$  (5)

Lời giải:

Phát biểu: Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

Áp dụng: 

$\begin{array}{l}a){\left(x-\frac{1}{3}\right)}^3\\ =x^3-3.x^2.\frac{1}{3}+3.x.{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^3\\ =x^3-x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{27}\\ b){\left(x-2y\right)}^3\\ =x^3-3x^2.2y+3x.{\left(2y\right)}^2-{\left(2y\right)}^3\\ =x^3-6x^{2}y+3x.4y^2-8y^3\\ =x^3-6x^{2}y+12x{y}^2-8y^3\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}1){\left(2x-1\right)}^2={\left(2x\right)}^2-2.2x.1+1^2\\ =1^2-2.2x+{\left(2x\right)}^2={\left(1-2x\right)}^2\end{array}$

Nên 1) đúng

$\begin{array}{l}2){\left(x-1\right)}^3=x^3-3x^2+3x-1\\ {\left(1-x\right)}^3=1-3x+3x^2-x^3\\ \Rightarrow {\left(x-1\right)}^3=-{\left(1-x\right)}^3\end{array}$

Nên 2) sai

3) đúng do tính chất giao hoán của phép cộng

4) sai do $x^2-1=-\left(1-x^2\right)$

5) sai do

$\begin{array}{l}{\left(x-3\right)}^2=x^2-2.x.3+3^2\\ =x^2-6x+9\ne x^2-2x+9\end{array}$

Ta có nhận xét như sau:

+) 

$\begin{array}{l}{\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2\\ {\left(B-A\right)}^2=B^2-2AB+A^2\\ \Rightarrow {\left(A-B\right)}^2={\left(B-A\right)}^2\end{array}$

+) Vì $A-B=-\left(B-A\right)$ nên ${\left(A-B\right)}^3=-{\left(B-A\right)}^3$

Câu hỏi và bài tập (trang 14 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 26 trang 14 sgk Toán 8 Tập 1: Tính

a) $(2x^2+3y{)}^3$;

b) ${\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^3$

Phương pháp giải: Áp dụng:

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

${\left(A.B\right)}^n=A^n.B^n$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& (2x^2+3y{)}^3=(2x^2{)}^3+3.(2x^2{)}^2.3y+3.2x^2.{\left(3y\right)}^2+{\left(3y\right)}^3\\ & =8x^6+3.4x^4.3y+3.2x^2.9y^2+27y^3\\ & =8x^6+36x^{4}y+54x^2{y}^2+27y^3\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{2}x-3\right)}^3={\left(\frac{1}{2}x\right)}^3-3.{\left(\frac{1}{2}x\right)}^2.3+3.\left(\frac{1}{2}x\right){.3}^2-3^3\\ & =\frac{1}{8}{x}^3-3.\frac{1}{4}{x}^2.3+3.\frac{1}{2}x.9-27\\ & =\frac{1}{8}{x}^3-\frac{9}{4}{x}^2+\frac{27}{2}x-27\end{array}$

Bài 27 trang 14 sgk Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $-x^3+3x^2-3x+1;$

b) $8-12x+6x^2-x^3.$

Phương pháp giải: Áp dụng: Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu. 

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& -x^3+3x^2-3x+1\\ & =1-3x+3x^2-x^3\\ & =1^3-{3.1}^2.x+\mathrm{3.1.}{x}^2-x^3\\ & ={\left(1-x\right)}^3\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& 8-12x+6x^2-x^3\\ & =2^3-{3.2}^2.x+\mathrm{3.2.}{x}^2-x^3\\ & ={\left(2-x\right)}^3\end{array}$

Bài 28 trang 14 sgk Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $x^3+12x^2+48x+64$         tại $x=6$;

b) $x^3-6x^2+12x-8$            tại $x=22.$

Phương pháp giải:

– Bước 1: Ta đưa hai biểu thức đã cho về dạng lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu.

– Bước 2: Thay giá trị của $x$ để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải:

a)

$x^3+12x^2+48\mathrm{x}+64$$={\mathrm{x}}^3+3.{\mathrm{x}}^2.4+3.x{.4}^2+4^3={\left(x+4\right)}^3$

Với $x=6$ ta có: ${\left(6+4\right)}^3={10}^3=1000.$

b)

$x^3-6{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}-8$$=x^3-3.{\mathrm{x}}^2.2+3.x{.2}^2-2^3={\left(x-2\right)}^3$

Với $x=22$ ta có: ${\left(22-2\right)}^3={20}^3=8000.$

Bài 29 trang 14 sgk Toán 8 Tập 1: Đố: Đức tính đáng quý. Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu, rồi điền chữ cùng dòng với biểu thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

$x^3-3x^2+3x-1$                  $N$

$16+8x+x^2$                            $U$

$3x^2+3x+1+x^3$                  $H$

$1-2y+y^2$                               $Â$

Phương pháp giải: Áp dụng: Hằng đẳng thức lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, bình phương của một tổng hoặc một hiệu. 

$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$

$(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Lời giải:

Ta có:

N: $x^3-3x^2+3x-1$

$=x^3-3.x^2.1+3.x{.1}^2-1^3={\left(x-1\right)}^3$

U: $16+8x+x^2=4^2+\mathrm{2.4.}x+x^2$

                            $={\left(4+x\right)}^2={\left(x+4\right)}^2$                                                  

H: $3x^2+3x+1+x^3$

$=x^3+3x^2+3x+1$

$=x^3+3.x^2.1+3.x{.1}^2+1^3$

$={\left(x+1\right)}^3={\left(1+x\right)}^3$

Â: $1-2y+y^2=y^2-2y+1$

$=y^2-2.y.1+1^2$

$={\left(y-1\right)}^2={\left(1-y\right)}^2$ 

Ta điền vào bảng như sau:

Vậy: Đức tính đáng quý là “NHÂN HẬU”

Chú ý: Có thể khai triển các biểu thức ${\left(x-1\right)}^3,{\left(x+1\right)}^3,{\left(y-1\right)}^2,{\left(x+4\right)}^2$ … để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.

Lý thuyết những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

1. Lập phương của một tổng:  Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai.

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

2. Lập phương của một hiệu: Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

Ví dụ: Rút gọn và tính giá trị biểu thức $A=x^3-x^{2}y+\frac{1}{3}x{y}^2-\frac{1}{27}{y}^3$ tại $x=2$ và $y=3$

Ta có:

$A=x^3-x^{2}y+\frac{1}{3}x{y}^2-\frac{1}{27}{y}^3$$=x^3-3.x^2.\frac{1}{3}y+3.x.{\left(\frac{1}{3}y\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}y\right)}^3$$={\left(x-\frac{1}{3}y\right)}^3$

Tại $x=2,y=3$ ta có: $A={\left(x-\frac{1}{3}y\right)}^3$$={\left(2-\frac{1}{3}.3\right)}^3=1^3=1$

Dạng 2: Tìm $\mathbf{x}$

Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm $x$ thường gặp

Ví dụ:  Tìm x biết $x^3+6x^2+12x+8=27$

Ta có:   

$\begin{array}{l}{x}^3+6x^2+12x+8=27\\ \Rightarrow x^3+3.x^2.2+3.x{.2}^2+2^3=27\\ \Rightarrow {\left(x+2\right)}^3=27\\ \Rightarrow x+2=3\\ \Rightarrow x=1\end{array}$

Vậy $x=1$.