Giải SGK Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Diện tích tam giác

Trả lời câu hỏi giữa bài

Câu hỏi trang 121 Toán 8 Tập 1:Hãy cắt một tam giác thành ba mảnh để ghép lại thành một hình chữ nhật.

Lời giải

Ta thực hiện theo cách sau:

Bài tập (trang 121, 122, 123)

Bài 16 trang 121 Toán 8 Tập 1:Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong hình 128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Lời giải:

Trong mỗi hình trên ta đều có:

Diện tích hình chữ nhật là: a.h

Diện tích tam giác trong cả ba hình là: $\frac{1}{2}.a.h$

⇒ Diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 17 trang 121 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức AB.OM = OA.OB

Lời giải:

Ta có cách tính diện tích ΔAOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

$S=\frac{1}{2}OM.AB$

Ta lại có cách tính diện tích ΔAOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là:

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}.OA.OB\\ \Rightarrow \frac{1}{2}OM.AB=\frac{1}{2}OA.OB\\ \Rightarrow OM.AB=OA.OB\end{array}$

Bài 18 trang 121 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (h.132). Chứng minh: S_AMB = S_AMC

Lời giải:

Kẻ đường cao AH.

Ta có:

Diện tích tam giác AMB là: $S_{\Delta AMB}=\frac{1}{2}.MB.AH$

Diện tích tam giác AMC là: $S_{\Delta AMC}=\frac{1}{2}.MC.AH$

Mà BM = CM (vì AM là trung tuyến)

⇒ S_AMB = S_AMC (đpcm).

Bài 19 trang 122 Toán 8 Tập 1:a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Lời giải:

a) Diện tích tam giác số 1:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 2:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.3}=3$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 3:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 4:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.5}=5$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 5:

$\frac{1}{2}\mathrm{.3.3}=\frac{9}{2}$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 6:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 7:

$\frac{1}{2}\mathrm{.1.7}=\frac{7}{2}$ (ô vuông)

Diện tích tam giác số 8:

$\frac{1}{2}\mathrm{.2.3}=3$ (ô vuông)

Vậy:

Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích là 4 ô vuông.

Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau.

Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.

– Ví dụ như các tam giác 1, 3, 6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.

Bài 20 trang 122 Toán 8 Tập 1:Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải:

Cho ΔABC với đường cao AH.

Gọi M, N, I là trung điểm của AB, AC, AH.

Lấy E đối xứng với I qua M, D đối xứng với I qua N.

⇒ Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng.

Thật vậy:

Xét ΔEBM và ΔIAM, có:

ME = MI (E đối xứng với I qua M)

$\widehat{EMB}=\widehat{AMI}$ (hai góc đối đỉnh)

AM = MB (M là trung điểm của AB)

Suy ra ΔEBM = ΔIAM

Chứng minh tương tự ΔDCN = ΔIAN

⇒ S_EBM = S_AMI và S_CND = S_AIN

⇒ S_ABC = S_AMI + S_AIN + S_BMNC 

= S_EBM + S_BMNC + S_CND = S_BCDE.

Suy ra S_ABC = S_BCDE = BE.BC

= $\frac{1}{2}$AH.BC. (Vì BE = IA = $\frac{AH}{2}$).

Ta đã tìm lại công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác

Bài 21 trang 122 Toán 8 Tập 1:Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật. ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (h.134).

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC = 5cm.

Diện tích ΔADE: $S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}\mathrm{.2.5}=5\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình chữ nhật ABCD: S_ABCD = 5x

Theo đề bài ta có

S_ABCD = 3S_ADE ⇔ 5x = 3.5 ⇔ x = 3.

Vậy x = 3cm

Bài 22 trang 122 Toán 8 Tập 1:Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135). Hãy chỉ ra:

a) Một điểm I sao cho S_PIF = S_PAF

b) Một điểm O sao cho S_POF = 2.S_PAF

c) Một điểm N sao cho $S_{PNF}=\frac{1}{2}{S}_{\text{PAF}}$

Phân tích đề:

Cả 3 phần a, b, c đều liên quan đến so sánh diện tích một tam giác với S_PAF. Mà diện tích một tam giác = nửa tích của chiều cao nhân với một cạnh tương ứng, mà trong bài này đều có chung cạnh tương ứng là PF nên việc giải bài toán chỉ cần xác định các điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến PF thỏa mãn yêu cầu đề bài là được.

Lời giải:

Gọi AH là chiều cao của tam giác APF.

Ta có: S_APF = $\frac{1}{2}FA.AH$.

a) Hai tam giác PIF và tam giác PAF có cùng đáy PF

Nên để S_PIF = S_PAF thì chiều cao IK = AH ( với IK là chiều cao của tam giác PIF ứng với cạnh PF).

Do đó I nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng AH.

b) Tam giác POF và tam giác PAF là hai tam giác có chung cạnh PF

Nên để S_POF = 2.S_PAF thì chiều cao OM = 2AH (với OM là chiều cao của tam giác POF ứng với cạnh PF)

Do đó O nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng 2.AH

c) Tam giác PNF và tam giác PAF có chung cạnh PF

Nên để $S_{PNF}=\frac{1}{2}{S}_{\text{PAF}}$ thì chiều cao NQ = $\frac{1}{2}AH$ (với NQ là chiều cao của tam giác PNF ứng với cạnh PF)

Do đó N nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng $\frac{AH}{2}$.

Bài 23 trang 123 Toán 8 Tập 1:Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho: S_AMB + S_BMC = S_MAC

Lời giải:

Giả sử tìm được điểm M nằm trong tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đã cho

Kẻ đường cao BH, MK.

Ta có: S_AMB + S_BMC + S_MAC = S_ABC (1)

Mà S_AMB + S_BMC = S_MAC (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

$\begin{array}{l}\Rightarrow S_{AMC}+S_{AMC}=S_{ABC}\\ \Rightarrow 2S_{AMC}=S_{ABC}\\ \Rightarrow S_{AMC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}\end{array}$

Vì tam giác AMC và tam giác ABC có chung cạnh AC nên $MK=\frac{1}{2}BH$.

Do đó, M nằm trong ΔABC, nằm trên đường thẳng d bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC một nửa đường cao BH.

Suy ra điểm M nằm trong ΔABC nằm trên đường trung bình của ΔABC.

Bài 24 trang 123 Toán 8 Tập 1:Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Lời giải:

Xét tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH.

$\Rightarrow$H là trung điểm của BC

$\Rightarrow BH=HC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Gọi h là chiều cao của tam giác cân ABC.

Xét tam giác AHC vuông tại C

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\begin{array}{l}\iff b^2=A{H}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\\ \iff b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=A{H}^2\\ \iff b^2-\frac{a^2}{4}=A{H}^2\\ \iff \frac{4b^2-a^2}{4}=A{H}^2\\ \iff \sqrt{\frac{4b^2-a^2}{4}}=AH\\ \iff AH=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.\end{array}$

Diện tích tam giác cân ABC là:

$\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}.a$

$=\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}$ (đvdt).

Vậy diện tích tam giác cân ABC là: $\frac{a\sqrt{4b^2-a^2}}{4}$.

Bài 25 trang 123 Toán 8 Tập 1:Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Lời giải:

Xét tam giác đều ABC cạnh a. Dựng đường cao AH.

Trong tam giác đều, đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm BC.

$BH=CH= \frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông AHB ta được:

$A{H}^2+H{B}^2=A{B}^2$ (định lý Py – ta – go)

$\begin{array}{l}\iff A{H}^2=A{B}^2-H{B}^2\\ \iff A{H}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\\ \iff A{H}^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}\\ \iff AH=\frac{\sqrt{3}a}{2}\end{array}$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC.AH$

$=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$(đvdt).